[数论] 求逆元

逆元

•何为逆元

方程ax≡1(mod  p),的解称为a关于模p的逆，当gcd(a,p)==1（即a，p互质）时，方程有唯一解，否则无解。

逆元有对称性，x是a关于b的逆元，那a也是x关于b的逆元。

线性递推求逆元

线性求从1到n的$mod p$ 的逆元

设$p=ki+r (r<i<p,i>1)$  ①

可以得到

$k=lfloor frac{p}{i} floor$  ②

$r=p mod i$  ③

$ki+requiv 0 (mod p)$  ④

两边同乘$i^{-1}cdot r^{-1}$得

$kr^{-1}cdot i^{-1}equiv 0 (mod p)$

移项得$i^{-1}equiv -kr^{-1} (mod p)$  ⑤

将②③代入⑤

得 $i^{-1}equiv -lfloor frac{p}{i} floorcdot (p mod i)^{-1}(mod p)$

由于$1^{-1}equiv 1 (mod p)$

所以1到n $mod p$逆元就可以线性递推出来了

•代码

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
    inv[i]=-(p/i)*inv[p%i];

扩展欧几里得求逆元

•先行知识：扩展欧几里得

exgcd求的是 $ax+by=gcd(a,b)$  的一组解

1)首先看当b==0,也就是$gcd(a,b)=gcd(a,0)=a$时

$ax+by=a$

得$x=1$

2)我们设

$ax_{1}+by_{1}=gcd(a,b) $ ①

$bx_{2}+(a$%$b)y_{2}=gcd(b,a$%$b)$ ②

由于 $gcd(a,b)=gcd(b,a$%$b)$ 

所以①②左边相等

$ax_{1}+by_{1}=bx_{2}+(a$%$b)y_{2}$

$ax_{1}+by_{1}=(a-lfloor frac{a}{b} floorcdot b)y_{2}$

$ax_{1}+by_{1}=ay_{2}+(x_{2}-lfloor frac{a}{b} floorcdot y2)b$

 得到

$x_{1}=y_{2}$

$y_{1}=x_{2}-lfloor frac{a}{b} floor cdot y_{2}$

也就是说我们根据x2,y2便可推导出x1,y1的值，只要将a,b换成b,a%b即可，和gcd算法类似这是一个递归的过程

既然是递归，那我们就要找一个出口，恰好①情况，当b变为0时，我们就可以退出了。

当a,b互质也就是 $gcd(a,b)=1$时

$ax+by=gcd(a,b)=1$

即为$ax=1-by$

所以$ax (mod b)equiv (1-by)(mod b)equiv1(mod b)$

所以$axequiv1(mod b)$,x为$a mod b$的逆元

同理可得y为$b mod a$的逆元

•代码

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll r=exgcd(b,a%b,y,x),temp;
    y -= (a/b)*x;

    return r;
}

ll inv(ll a,ll b)
{
    ll r=exgcd(a,b,x,y);
    while(x<0)
        x+=b;
    return x;
}

费马小定理求逆元

•先行知识：费马小定理

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 $a^{p-1}≡1（mod p)$，

即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

费马小定理求逆元的先行条件是p是素数

$a^{p-1}equiv 1(mod p)$

即 $acdot a^{p-2}equiv 1(mod p)$

所以a关于p的逆元就是 $a^{p-2}$

一般利用快速幂求解

•代码

ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
ll inv=qpow(a,p-2,p);