向量积

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向量积

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向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

 

 

中文名

向量积

外文名

cross product

别    名

向量积、矢积、叉乘、外积

表达式

a×b

应用学科

数学，物理，力学

领域范围

解析几何

目录

1. 1 基本概念
2. ▪ 表示方法
3. ▪ 定义
4. ▪ 坐标运算
5. ▪ 证明

1. ▪ 与数量积的区别
2. 2 性质
3. ▪ 几何意义及其运用
4. ▪ 代数规则
5. ▪ 拉格朗日公式

1. ▪ 矩阵形式
2. ▪ 高维情形
3. 3 应用

基本概念

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表示方法

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。 [1] 

定义

向量积可以被定义为：

模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

也可以这样定义（等效）：

向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。 [1] 

坐标运算

设

。i，j，k分别是X，Y，Z轴方向的单位向量，则 [1]  ：

a×b=（

）i+（

）j+（

）k，为了帮助记忆，利用三阶行列式，

写成det

利用三阶行列式，写成det

证明

为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的单位向量i，j，k。

i，j，k满足以下特点：

i=jxk；j=kxi；k=ixj；

kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；

ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）

由此可知，i，j，k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。

对于处于i，j，k构成的坐标系中的向量u，v我们可以如下表示：

u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；

v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；

那么uxv=（Xu*i+Yu*j+Zu*k）x（Xv*i+Yv*j+Zv*k）

=Xu*Xv*（ixi）+Xu*Yv*（ixj）+Xu*Zv*（ixk）+Yu*Xv*（jxi）+Yu*Yv*（jxj）+Yu*Zv*（jxk）+Zu*Xv*（kxi）+Zu*Yv*（kxj）+Zu*Zv*（kxk）

由于上面的i，j，k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为

uxv=（Yu*Zv–Zu*Yv）*i+（Zu*Xv–Xu*Zv）*j+（Xu*Yv–Yu*Xv）*k。 [1] 

与数量积的区别

注：向量积≠向量的积（向量的积一般指点乘）

一定要清晰地区分开向量积（矢积）与数量积（标积）。见下表。 [1] 

向量积（矢积）与数量积（标积）的区别

名称	标积/内积/数量积/点积	矢积/外积/向量积/叉积
运算式（a，b和c粗体字，表示向量）	a·b=|a||b|·cosθ	a×b=c，其中|c|=|a||b|·sinθ，c的方向遵守右手定则
几何意义	向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积	c是垂直a、b所在平面，且以|b|·sinθ为高、|a|为底的平行四边形的面积
运算结果的区别	标量（常用于物理）/数量（常用于数学）	矢量（常用于物理）/向量（常用于数学）

性质

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几何意义及其运用

叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。 [1] 

代数规则

1、反交换律：a×b=-b×a

2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。

3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。

4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。

5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。 [1] 

拉格朗日公式

证明过程

这是一个著名的公式，而且非常有用：

（a×b）×c=b（a·c）-a（b·c）

a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b）

证明过程如下：

二重向量叉乘化简公式及证明

可以简单地记成“BAC-CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是：

这是一个在四元数代数中范数乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。 [2] 

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i×j=k；

j×k=i；

k×i=j；

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a=[a1，a2，a3]=a1i+a2j+a3k；

b=[b1，b2，b3]=b1i+b2j+b3k；

则a×b=[a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1]。

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a1，a2，a3]表示成四元数a1i+a2j+a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参看四元数（空间旋转）。 [2] 

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

双线性性：x×（ay+bz）=ax×y+bx×z；（ay+bz）×x=ay×x+bz×x；

反交换律：x×y+y×x=0；

同时与x和y垂直：x·（x×y）=y·（x×y）=0；

拉格朗日恒等式：|x×y|²=|x|²|y|²-（x·y）²；

不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：x×（y×z）+y×（z×x）+z×（x×y）≠0。 [2] 

应用

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在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。

求解光照的核心在于求出物体表面法线，而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量（或者不在同一直线的三个点），就可依靠叉积求得法线。 [2]