Codeforces Round #460 (Div. 2) E. Congruence Equation （CRT+数论）

题目链接：

http://codeforces.com/problemset/problem/919/E

题意：

让你求满足 (na^nequiv b pmod p) 的 (n) 的个数。

(2 ≤ p ≤ 10^{6} + 3, 1 ≤ a, b < p, 1 ≤ x ≤ 10^{12}).

题解：

因为：

$n mod p $的循环节是 (p)

(a^{n} mod p)的循环节是 (p-1)。(费马小定理)

所以： (na^n mod p​)的循环节为 (p*(p-1))。

因为 (p)是质数。

假设: (n mod p equiv i, a^nmod pequiv a^j).

(a^n mod p equiv i) ----①

$a^nmod pequiv a^j $ ----②

(na^nequiv b pmod p) ----③

可以得到： (i imes a^j equiv b pmod p).

我们现在枚举的(a^n) 中的 (n) 为 (j) , 满足 (n imes a^n mod p = b) 的 (n) 为 (i).

列出同余方程：

$i equiv b*a^{-j} pmod p $ ---①

(iequiv j pmod {p-1}) ---②

利用 (CRT) 可以解出 ：(i=(p-1)^2ba^{-j}+pj) ，其中 (a^{-j}) 是$ a^{j}$ 在 $mod p $意义下的逆元。

因为在所有 (<=x) 的 (i) 的倍数都满足条件，除法统计一下即可。

复杂度：(O(p*logp))

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll qpower(ll a,ll b, ll mod)
{
  ll ans = 1;
  while(b){
    if(b&1) ans = ans * a % mod;
    b>>=1;
    a=a*a%mod;
  }
  return ans;
}
ll a,b,mod,x;
int main(int argc, char const *argv[]) {
  std::cin >> a >> b >> mod >> x;
  ll ans = 0;
  for(int i = 1;i <= mod-1;i++) {
    ll  c = qpower( qpower(a, i , mod) , mod - 2, mod) * b % mod;
    ll  n = ((mod-1) * (mod-1) * c + mod * i) % (mod * (mod-1));
    ans += ( x / (mod * (mod-1)) ) + (x % (mod * (mod-1)) >= n );
  }
  std::cout << ans << '
';
  return 0;
}