本文转自 http://blog.sina.com.cn/s/blog_694034130100wlrh.html(修改了少量有误的地方)
欧拉函数：
对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。
完全余数集合：
定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。
显然，对于素数p，φ(p)= p - 1.
对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)
证明：对于质数p,q，满足φ(n) =(p-1)(q-1)
考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1},小于ｎ的集合共有pq-1个元素
而不和n互质的集合由下面两个集合的并构成：
1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个
2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个
很显然，1、2集合中没有共同的元素，因此Zn中元素个数 ＝ pq -1 - (p -1 + q- 1) = (p-1)(q-1)
欧拉定理：
对于互质的整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n
{
注：
同余符号：
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。
比如 26 ≡ 14 (mod 12)
}
证明：
首先证明下面这个命题：
对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑集合
S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}
则S = Zn
1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定与n互质，因此
任意xi，axi mod n 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
则axi mod n ≠ axj mod n，这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn
既然这样，那么
（ax1 × ax2×...×axφ(n)）mod n
= （ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n）mod n
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
考虑上面等式左边和右边
左边等于(a^φ(n) × （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n) mod n
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
而x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n和n互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
aφ(n) ≡ 1 mod n
费马定理：
a是不能被质数p整除的正整数，则有 ap - 1 ≡ 1 mod p
证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap ≡ a mod p
欧拉函数公式：
( 1 ) pk 的欧拉函数
对于给定的一个素数 p ， φ(p) = p -1。则对于正整数 n = pk ，
φ(n) = pk - pk -1
证明：
小于 pk 的正整数个数为 pk - 1个，其中
和 pk 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (pk - 1-1)} 共计 pk - 1 - 1 个
所以 φ(n) = pk - 1 - (pk - 1 - 1) = pk - pk - 1 。
( 2 ) p * q 的欧拉函数
假设 p, q是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。
证明：
令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1
根据中国余数定理，有
Zn 和 Zp × Zq 之间存在一一映射
（我的想法是： a ∈ Zp ， b ∈ Zq ⇔ b * p + a * q ∈ Zn 。）
所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合 Zp × Zq 的元素个数。
而后者的元素个数为 φ(p) * φ(q) ，所以有
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。
( 3 ) 任意正整数的欧拉函数
任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积为：
I
n = ∏ piki (I 为 n 的素因子的个数)
i=1
（注：∏是希腊字母，即π的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于Σ，有时也用来代表圆周率值）
根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为：
I I
Φ(n) = ∏ piki -1(p
i
-1) = n ∏ (1 - 1 / pi)
i=1 i=1
对于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因为必存在 p
i
-1 是偶数。