前言： 这份讲解只针对于C++新手，各位大佬请绕道，如有讲解错误的地方可留言给我，我会在第一时间回复并加以改正。
引入：快速幂的定义：顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。
铺垫： 因为在代码实现中要用到位运算，没有学过位运算的读者我在这里简单讲解一下：
基本算术位运算：
与 ：\(and\),&，如果两个相应的二进制位都为１，则该位的结果值为1；否则为0。例：11&3 =1011 & 11（二进制数）=11（二进制数） = 3
或 ：\(or\),|，如果两个相应的二进制位只要有一个是1，结果就是1；否则为0。
例：11|2=1011 | 10（二进制数）=1011（二进制数） =11
非 ：\(not\),~，这个在加法中用到
x-y = x + ~y + 1
所以~y = - y -1
比如 ~11 = -11 -1 = -12
异或 ：\(xor\),^,两个相同的数会变成0，反之是1
例：11 ^ 3=1011 ^ 11 （二进制数）= 1000 （二进制数）=8
左移 ：在二进制表示下把数字同时向左移动，地位以0填充，高位越界后舍弃。
算术右移 ：在二进制补码表示下把数字同时向右移动，高位以符号位填充，低位越界后舍弃。
算术右移等于除以2向下除整， \((-3)>>1=-2,3>>1=1\) 。
值得一提的是，“整数/2”在C++中实现为“除以2向零取整”，\((-3)/2=-1,3/2=1\)。请读者自己尝试使用C++编译器编译运行类似的语句，检查运算结果。
原理：比如我们要求 \(a\) 的 \(b\) 次方对 \(p\) 取模的值，其中1<=\(a,b,p\)<=\(10^9\)。
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Poj1995 Raising Modulo Numbers（快速幂）
根据数学常识，每一个正整数可以唯一表示为若干指数不重复的2的次幂的和。也就是说，如果 \(b\) 在二进制表示下有\(k\) 位，其中第\(i(0<=i<k)\)位的数字是 \(c_i\) ，
那么： \(b=c_k 2^{k-1}+c_{k-1} 2^{k-2}+...+c_0 2^0\)
于是： \(a^b=a^{c_{k-1}*2^{k-1}}*a^{c_{k-2}*2^{k-2}}*...*a^{c_0*2^0}\)
又因为：\(a^{2^i}=(a^{2^{i-1}})^2\)
所以我们很容易通过 \(k\) 次递推求出每个乘积项，当 \(c_i=1\) 时，把该乘积项累积到答案中。b&1运算可以取出 \(b\) 在二进制表示下的最低位，而 \(b>>1\) 运算可以舍去最低位，在递推的过程中将二者结合，就可以遍历 \(b\) 在二进制表示下的所有数位 \(c_i\) 。整个算法的时间复杂度为\(O(log_2b)\) 。
代码实现：
int power(int a,int b,int p)
{
int ans=1%p;
while(b)
{
if(b&1)ans=(long long)ans*a%p;
a=(long long)a*a%p;
b>>=1;
}
return ans;
}
在上面的代码片段中，我们通过“右移（>>）”“与（&）”运算的结合，遍历了 \(b\) 的二进制表示下的每一位。在循环到第 \(i\) 次时（从0开始计数），变量 \(a\) 中存储的是 \(a^{2^i}\) ，若 \(b\) 该位为1，则把此时的变量 \(b\) 累积到答案 \(ans\) 中。
值得提醒的是，在C++语言中，两个数值执行算术运算时，以参与运算的最高数值类型作为基准，与保存结果的变量类型无关。换言之，虽然两个 \(32\) 位整数的乘积可能超过int类型的表示范围，但是 \(CPU\)只会用1个32位寄存器保存结果，造成我们常说的越界现象。因此，我们必须把其中一个数强制转换成64位整数类型 long long 参与运算，从而得到正确的结果。最终对 \(p\) 取模以后，执行赋值操作时，该结果会被隐式转换成 \(int\) 存回 \(ans\) 中。