聚类之K均值聚类和EM算法

这篇博客整理K均值聚类的内容，包括：

1、K均值聚类的原理；

2、初始类中心的选择和类别数K的确定；

3、K均值聚类和EM算法、高斯混合模型的关系。

一、K均值聚类的原理

K均值聚类（K-means）是一种基于中心的聚类算法，通过迭代，将样本分到K个类中，使得每个样本与其所属类的中心或均值的距离之和最小。

1、定义损失函数

假设我们有一个数据集｛x₁, x₂,..., x_N｝，每个样本的特征维度是m维，我们的目标是将数据集划分为K个类别。假定K的值已经给定，那么第k个类别的中心定义为μ_k，k=1,2,..., K，μ_k是一个m维的特征向量。我们需要找到每个样本所属的类别，以及一组向量｛μ_k｝，使得每个样本与它所属的类别的中心μ_k的距离平方和最小。

首先，这个距离是什么距离呢？聚类需要根据样本之间的相似度，对样本集合进行划分，将相似度较高的样本归为一类。度量样本之间相似度的方法包括计算样本之间的欧氏距离、马氏距离、余弦距离或相关系数，而K均值聚类是用欧氏距离的平方来度量样本之间的相似度。欧式距离的平方公式如下：

把所有样本与所属类的中心之间距离的平方之和定义为损失函数：

其中r_nk∈{0,1}，n=1,2,...,N，k=1,2,...,K，如果r_nk=1，那么表示样本x_n属于第k类，且对于j≠k，有r_nj=0，也就是样本x_n只能属于一个类别。

于是我们需要找到｛r_nk｝和｛μ_k｝的值，使得距离平方之和J最小化。

2、进行迭代

K均值聚类的算法是一种迭代算法，每次迭代涉及到两个连续的步骤，分别对应r_nk的最优化和μ_k的最优化，也对应着EM算法的E步（求期望）和M步（求极大）两步。

首先，为μ_k选择一些初始值，也就是选择K个类中心。然后第一步：保持μ_k固定，选择r_nk来最小化J，也就是把样本指派到与其最近的中心所属的类中，得到一个聚类结果；第二步：保持r_nk固定，计算μ_k来最小化J，也就是更新每个类别的中心。不断重复这两个步骤直到收敛。

具体来说：

E步：在类中心μ_k已经确定的情况下，最优化r_nk

这一步比较简单，我们可以对每个样本x_n独立地进行最优化。将某个样本分配到第k个类别，如果这个样本和第k个类别的距离最小，那么令r_nk=1。对N个样本都这样进行分配，自然就得到了使所有样本与类中心的距离平方和最小的｛r_nk｝，从而得到了一个聚类结果。

M步：确定了数据集的一种划分，也就是｛r_nk｝确定后，最优化μ_k

目标函数J是μ_k的一个二次函数，令它关于μ_k的导数为零，就可以使目标函数达到最小值，即

解出μ_k的结果为：

这个μ_k就是类别k中所有样本的均值，所以把这个算法称为K均值聚类。

重新为样本分配类别，再重新计算每个类别的均值，不断重复这两个步骤，直到聚类的结果不再改变。

需要注意以下几点：

①K均值聚类算法可能收敛到目标函数J的局部极小值，不能保证收敛到全局最小值；

②在聚类之前，需要对数据集进行标准化，使得每个样本的均值为0，标准差为1；

③初始类中心的选择会直接影响聚类结果，选择不同的初始类中心，可能会得到不同的聚类结果。

④K均值聚类算法的复杂度是O(mnk)，m是样本的特征维度，n是样本个数，k是类别个数。

二、初始类中心的选择和类别数K的确定

K均值聚类算法的思想比较简单，不涉及到什么数学知识，关键点在于初始类中心的选择和类别数K的确定，这对聚类的结果有比较大的影响。

（一）初始类中心的选择

1、第一种方法

用层次聚类算法进行初始聚类，然后用这些类别的中心作为K均值聚类的初始类中心。层次聚类的复杂度为O(mn³)，m是样本的特征维度，n是样本个数，复杂度也是蛮高的，那为什么用层次聚类的结果作为初始类呢？我想是因为层次聚类的结果完全是由算法确定的，完全没有人工的干预，是一个客观的结果，这样就把K均值聚类的初始类选择问题，由主观确定变成了客观决定。

2、第二种方法

首先随机选择一个点作为第一个初始类中心点，然后计算该点与其他所有样本点的距离，选择距离最远的点作为第二个初始类的中心点，以此类推，直到选出K个初始类中心点。

（二）类别数K的确定

1、轮廓系数

轮廓系数（Silhouette Coefficient）可以用来判定聚类结果的好坏，也可以用来确定类别数K。好的聚类要保证类别内部样本之间的距离尽可能小（密集度），而类与类之间样本的距离尽可能大（离散度），轮廓系数就是一个用来度量类的密集度和离散度的综合指标。

轮廓系数的计算过程和使用如下：

①计算样本x_i到同类C_k其他样本的平均距离a_i，将a_i称为样本x_i的簇内不相似度，a_i越小，说明样本x_i越应该被分配到该类。

②计算样本x_i到其他类C_j所有样本的平均距离b_ij，j=1, 2 ,..., K，j≠k，称为样本x_i与类别C_j的不相似度。定义样本x_i的簇间不相似度：b_i =min{b_i1, b_i2, ...,b_ij,..., b_iK}，j≠k，b_i越大，说明样本x_i越不属于其他簇。

③根据样本x_i的簇内不相似度a_i和簇间不相似度b_i，定义样本x_i的轮廓系数s_i，作为样本x_i分类结果的合理性的度量。

④轮廓系数范围在[-1,1]之间，该值越大，聚类结果越好。s_i接近1，则样本x_i被分配到类别C_k的结果比较合理；s_i接近0，说明样本x_i在两个类的边界上；s_i接近-1，说明样本x_i更应该被分配到其他类别。

⑤计算所有样本的轮廓系数s_i的均值，得到聚类结果的轮廓系数S，作为聚类结果合理性的度量。轮廓系数越大，聚类结果越好。

⑥使用不同的K值进行K均值聚类，计算各自聚类结果的轮廓系数S，选择较大的轮廓系数所对应的K值。

2、肘部法则

K均值聚类的损失函数是所有样本到类别中心的距离平方和J，也就是误差平方和SSE：

从类别数K=1开始，一开始随着类别数的增大，且类别数K小于真实的类别数时，SSE会快速地下降。而当类别数到达真实类别数的临界点后，SSE开始缓慢下降，也就是说SSE和K的关系是一个肘部形状，这个肘部所对应的K值可以认为是合适的类别数。

 

那么我们选择不同的K值，用K均值聚类训练多个模型，然后计算模型的SSE，选择SSE开始缓慢下降时的K值作为聚类的类别数。如下图，可以选择4或5作为聚类的类别数。

三、K均值聚类与高斯混合模型的关系

关于K均值聚类与EM算法、高斯混合模型的关系，主要有以下三点：

1、K均值聚类是一种非概率的聚类算法，属于硬聚类方法，也就是一个样本只能属于一个类（类与类之间的交集为空）。相比之下，高斯混合模型（GMM）是一种基于概率的聚类算法，属于软聚类方法，每个样本按照一个概率分布，属于多个类。

2、K均值聚类在一次迭代中的两个步骤，可以看做是EM算法的E步和M步，而且K均值聚类可以看做是用EM算法对⾼斯混合模型进行参数估计的⼀个特例，也就是高斯混合模型中分模型的方差σ²相等，为常数，且σ²→0时的极限情况。

3、K均值聚类和基于EM算法的高斯混合模型，对参数的初始化值比较敏感，由于K均值聚类的计算量远小于基于EM算法的高斯混合模型，所以通常运⾏K均值算法找到⾼斯混合模型的⼀个初始化值，再使用EM算法进行调节。具体而言，用K均值聚类划分的K个类别中，各类别中样本所占的比例，来初始化K个分模型的权重；用各类别中样本的均值来初始化K个高斯分布的期望；用各类别中样本的方差来初始化K个高斯分布的方差。

（一）从图形来理解

为了理解以上这几点，尤其是第2点，我们可以先从图形来看。假设高斯混合模型由4个高斯分布混合而成，高斯分布的密度函数如下。这里和《聚类之高斯混合模型与EM算法》的符号表示一致，y为样本。

 

令均值μ=[0,2,4,6]，方差σ²=[1,2,3,1]，则4个高斯分布的概率密度函数的图形如下。我们可以看到，4个图形之间有重叠的部分，也就说明每个样本可以按照一个概率分布α_k，属于多个类，只是属于某类的概率大些，属于其他类的概率小些。这表明高斯混合模型是一种软聚类方法。

然后令均值μ不变，方差σ²=[0.01, 0.01, 0.01, 0.01]，也就是4个分模型的方差σ_k²相等，而且σ_k²→0，那么4个高斯分布的图形如下。每个高斯分布的图形之间没有交集，那么每个样本只能属于一个类，变成了硬聚类。这也就是高斯混合模型的特例：K均值聚类。

（二）从公式来理解

用EM算法对高斯混合模型进行极大似然估计，在E步，我们需要基于第i轮迭代的参数θ⁽ⁱ⁾=(α_k, μ_k, σ_k)来计算γ_jk，γ_jk是第j个样本y_j来自于第k个高斯分布分模型的概率，k=1,2,...,K。在高斯混合模型中，γ_j是一个K维的向量，也就是第j个样本属于K个类的概率。假设分模型的方差σ_k²都相等，且是一个常数，不需要再估计，那么在EM算法的E步我们计算γ_jk

考虑σ²→0时的极限情况，如果样本y_j属于第k类的概率最大，那么该样本与第k类的中心点的距离非常近，(y_j - μ_k)²将会趋于0，于是有：

也就是样本y_j属于第k类的概率近似为1，属于其他类别的概率近似为0，也就成为了一种硬聚类，也就是K均值聚类。

其实在σ²→0时的极限情况下，最大化高斯混合模型的完全数据的对数似然函数的期望，等价于最小化K均值聚类的目标函数J。

比如有4个高斯分布，样本y_j的γ_j为[0.55, 0.15, 0.2, 0.1]，那么属于第1类的概率γ_j1最大。而当分模型的方差σ²→0时，样本y_j的γ_j可能为[0.98, 0.01, 0.005, 0.005]，也就是该样本直接被分配到了第1类，成为了硬聚类。

 

附：4个高斯分布的概率密度函数的图形代码

import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np

# 均值
u1 = 0   
u2 = 2
u3 = 4
u4 = 6

# 标准差
sig1 = math.sqrt(1)  
sig2 = math.sqrt(2)
sig3 = math.sqrt(3)
sig4 = math.sqrt(1)

def x(u,sig):
    return np.linspace(u - 5*sig, u + 5*sig, 100)

x1 = x(u1,sig1)
x2 = x(u2,sig2)
x3 = x(u3,sig3)
x4 = x(u4,sig4)

# 概率密度
def y(x,u,sig):
    return np.exp(-(x - u) ** 2 /(2* sig**2))/(math.sqrt(2*math.pi)*sig)

y1 = y(x1,u1,sig1)
y2 = y(x2,u2,sig2)
y3 = y(x3,u3,sig3)
y4 = y(x4,u4,sig4)

plt.plot(x1,y1, "r-")
plt.plot(x2, y2, "g-")
plt.plot(x3, y3, "b-")
plt.plot(x4, y4, "m-")
plt.xticks(range(-6,16,2))

plt.show()

参考资料：

1、李航：《统计学习方法》（第二版）

2、《Pattern Recognition and Machine Learning》

3、https://www.jianshu.com/p/335b376174d4