蓝桥杯历年试题 矩阵翻硬币

问题描述

　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

 

思路：

杭电以前做过一道一维的题目（灯泡的开闭，具体题目名记不到了），先看一维。因为和顺序无关，我们从小到达进行，对于第x个棋子它的最终状态取决与1-x约数个数的奇偶，而只有平方数的约数个数是奇数，所以转变成求1-n中平方数个数，如果有k个平方数，最大的平方数为k^2,k^2<=n，所以k为sqrt(n)取整。

拓展到二维原理是一样的，只不过需要同时满足x,y均为平方数，那么这样的数的个数即为（1-n的平方数个数）*（1-m的平方数个数）。

观察一下题目的数据范围，上高精度，扔模板。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cmath>
#define LL long long int
using namespace std;
struct numlist
{
    static const int L=1100;
    int a[L];
    int len;
    void ini(string s)//字符串输入
    {
        fill(a,a+L,0);
        for(int i=s.length()-1;i>=0;i--)
            a[s.length()-i-1]=s[i]-'0';
        len=s.length();
    }
    void ini(long long int num)//数字输入
    {
        fill(a,a+L,0);
        len=0;
        if(num==0) len++;
        while(num)
        {
            a[len++]=num%10;
            num/=10;
        }
    }
    void updateBit()//更新位数,约定0的位数是0
    {
        len=0;
        for(int i=0; i<L; i++)
        {
            if(a[i]!=0)
                len=i+1;
            if(a[i]>=10)
            {
                int temp=a[i]/10;
                a[i]%=10;
                a[i+1]+=temp;
            }
            if(a[i]<0)
            {
                int temp=-(a[i]%10!=0)+a[i]/10;
                a[i]%=10;
                if(a[i]<0) a[i]+=10;
                a[i+1]+=temp;
            }
        }
    }
    void print()//测试输出
    {
        for(int i=len-1;i>=0;i--)
            cout<<a[i];
        cout<<endl;
        /*
        for(int i=len-1;i>=0;i--)
            printf("%d",a[i]);
        printf("
");
        */
    }
};
numlist Add(numlist a,int num)
{
    int p=0;
    while(num)
    {
        a.a[p++]+=num%10;
        num/=10;
    }
    a.updateBit();
    return a;
}
numlist Add(numlist a,numlist b,int f)
{
    int mx=a.len;
    if(b.len>mx) mx=b.len;
    for(int i=0;i<mx;i++)
        a.a[i]+=b.a[i]*f;
    a.updateBit();
    return a;
}
int fix=0;
numlist Bmut(numlist a,numlist b)
{
    numlist c;
    c.ini(0);
    for(int i=0; i<a.len; i++)
        for(int j=0; j<b.len; j++)
            c.a[i+j]+=a.a[i]*b.a[j];

    c.updateBit();
    return c;
}
int BitCmp(numlist a,numlist b)//1:a>b,-1:a<b,0:a==b
{
    if(a.len!=b.len)
        return a.len>b.len?1:-1;
    for(int i=a.len-1;i>=0;i--)
        if(a.a[i]!=b.a[i])
            return a.a[i]>b.a[i]?1:-1;
    return 0;
}
numlist Sqrt(numlist a)
{
    numlist rec,num100,high,preBit;
    num100.ini(100);
    string ans="";//顺序记录每一位
    int pos=a.len-(!(a.len%2)+1);
    numlist temp;
    int initNum=0;
    for(int i=a.len-1;i>=pos;i--)
        initNum*=10,initNum+=a.a[i];

    ans+=sqrt(initNum)+'0';
    preBit.ini(ans);
    initNum-=(int)sqrt(initNum)*(int)sqrt(initNum);
    //cout<<initNum<<endl;
    temp.ini(initNum);//部分余数
    pos-=2;
    for(;pos>=0;pos-=2)
    {
        ans+='0';
        for(int i=preBit.len;i>0;i--)
            preBit.a[i]=preBit.a[i-1];
        preBit.a[0]=0;
        preBit.len++;

        high=preBit;
        high=Add(high,high,1);
        temp=Bmut(temp,num100);
        temp=Add(temp,a.a[pos]+a.a[pos+1]*10);
        numlist pn,pn1;
        numlist pnow,ppre;
        int p=5;
        do
        {
            pn.ini(p),pn1.ini(p-1);

            pnow=Bmut(Add(high,p),pn);

            ppre=Bmut(Add(high,p-1),pn1);
            if(BitCmp(temp,ppre)<0)
                p--;
            else if(BitCmp(pnow,temp)<=0)
                p++;
            else
                break;
        }while(1);
        p--;
        preBit.a[0]=p;
        pn.ini(p);
        pnow=Bmut(Add(high,p),pn);
        temp=Add(temp,pnow,-1);
        ans[ans.length()-1]=p+'0';
        //cout<<"---"<<endl;
    }
    rec.ini(ans);
    return rec;
}
int main()
{
    string a,b;
    while(cin>>a>>b)
    {

        numlist ax,bx;
        ax.ini(a);
        bx.ini(b);
        Bmut(Sqrt(ax),Sqrt(bx)).print();
        //Add(temp,-5);
    }
    return 0;
}