OI

还差很多

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# 题面

有一个长度为 (n) 的数列 ({a_1,a_2,dots,a_n}) 和一个整数 (b)，初始 (a_i=0,b=0)，(a_i) 值域为 ([0,m-1])。进行 (Q) 次操作，每次操作是下列所有操作中的一种：

• A l r v：对 (iin[l,r])，(a_ileftarrowmax{a_i,v})，这种操作一共包含 (m imes frac{n(n+1)}{2}) 种；
• B l r v：对 (iin[l,r])，(a_ileftarrowmin{a_i,v})，这种操作一共包含 (m imes frac{n(n+1)}{2}) 种；
• C l r：(bleftarrow b+sum_{i=l}^ra_i)，这种操作一共包含 (frac{n(n+1)}2) 种。

求 (Q) 次操作后 (b) 的期望（原题是求所有方案的 (b) 之和，本质一样……）。

(1le n,m,Qle2 imes 10^5)

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# 解析

这是一道利用期望线性性分拆贡献的好题:)，具体分拆贡献分为两步：

(Ⅰ)将 (mathbf{E(b)}) 分拆为每一次操作对 (mathbf b) 的贡献。

由题意易知只有 C操作 会对 (b) 有贡献。若第 (i) 次操作是 C 操作，设其对 (b) 的贡献为 (ans_i)。一共有 ((2m+1)inom n2) 种操作，而 C 操作有 (inom n2) 种，于是某一次操作是 C 操作的概率是 (frac 1{2m+1})。然后可以写出下面的式子：

[E(b)=sum_{j=1}^Qfrac1{2m+1}E(ans_j) ]

考虑怎么计算 (E(ans_j))。

Tab. 记 (a_{i,j}) 表示数字 (a_i) 在 (j) 次操作后的值。

（Ⅱ）将 (mathbf{E(ans_j)}) 分拆为每个 (mathbf{E(a_{i,j})}) 的贡献。

某次操作区间包含 (a_i) 的概率为 (frac{i(n-i+1)}{inom n2})，则

[E(ans_j)=sum_{i=1}^nfrac{i(n-i+1)}{inom n2}E(a_{i,j}) ]

而对于 (E(a_{i,j}))，要利用到将离散期望用概率表达的技巧：

[E(a_{i,j})=sum_{k=0}^{m-1}P(a_{i,j}>k) ]

为了方便计算上式的概率，我们定义一次操作对 (a_i) 有效，当且仅当：

• 是 A/B 操作；
• 操作区间包含 (i)；
• 如果是 A(max) 操作，则要求 (vge a_i)；如果是 B(min) 操作，则要求 (v< a_i)。

那么可以推得某一次操作对 (a_i) 有效的概率为 (H_i=frac{i(n-i+1)}{inom n2}cdotfrac{2m}{2m+1}cdotfrac{a_i+(m-a_i-1)}{m})，发现概率与 (a_i) 无关。

那么什么时候会有 (a_{i,j}>k)？当且仅当最后一次有效操作的 (v) 有 (v>k)。所以 (P(a_{i,j}>k)) 可以这样计算：

• 在前 ((j-1)) 次操作中（第 (j) 次是 C 操作，一定无效）存在有效操作：([1-(1-H_i)^{j-1}])（即从所有方案中减去 (j-1) 次操作都无效的方案）；
• 最后一次有效操作 (v>k)：(frac{m-k-1}m)。

所以 (P(a_{i,j}>k)=frac{m-k-1}m[1-(1-H_i)^{j-1}])

综上

[egin{aligned} E(a_{i,j})&=sum_{k=0}^{m-1} frac{m-k-1}mcdot[1-(1-H_i)^{j-1}]\ &=[1-(1-H_i)^{j-1}]cdot frac{m-1}2\ E(ans_j)&=sum_{i=1}^n frac{i(n-i+1)}{ binom n2}cdot[1-(1-H_i)^{j-1}]cdot frac{m-1}2 end{aligned} ]

最后

[egin{aligned} E(b)&=sum_{j=1}^Qsum_{i=1}^n frac{i(n-i+1)}{ binom n2}cdot[1-(1-H_i)^{j-1}]cdot frac{m-1}2\ &=frac{m-1}2cdotsum_{i=1}^n frac{i(n-i+1)}{ binom n2}sum_{j=1}^Qcdot[1-(1-H_i)^{j-1}] end{aligned} ]

后面对 (1-(1-H_i)^{j-1}) 的式子求和就用等比数列，可以做到 (O(log Q))，于是总复杂度 (O(nlog Q))。

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# 源代码

/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MOD=998244353;
#define ci const int &

inline int Add(ci a,ci b){return a+b>=MOD? a+b-MOD:a+b;}
inline int Sub(ci a,ci b){return a-b<0? a-b+MOD:a-b;}
inline int Mul(ci a,ci b){return 1ll*a*b%MOD;}
inline int Pow(ci a,ci b){return b? Mul(Pow(Mul(a,a),b>>1),(b&1)? a:1):1;}

int n,m,Q;

//p^0+p^1+...+p^(t-1)
int loca(int varp,int vart){return Mul(Sub(Pow(varp,vart),1),Pow(Sub(varp,1),MOD-2));}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);
    int var1=Pow(Mul(n,n+1),MOD-2),var2=Pow(2*m+1,MOD-2),var3=Mul(Sub(m,1),Pow(2,MOD-2)),ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int varq=Mul(Mul(i,n-i+1),Mul(var1,var2)),varp=Mul(Mul(Mul(m,i),n-i+1),Mul(var1,var2));
        varp=Mul(varp,2),varq=Mul(varq,2);
        int sum=Sub(Q,loca(Sub(1,varp),Q));
        ans=Add(ans,Mul(sum,Mul(var3,varq)));
    }
    int all=Pow(Mul(Mul(n,n+1),Mul(Pow(2,MOD-2),2*m+1)),Q);
    // printf("? %d
",all);
    printf("%d
",Mul(ans,all));
    return 0;
}

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THE END

Thanks for reading!

[egin{split} “ &未料想在你手中 最过珍惜的三尺青锋\ &会在某一日 为某一个人\ &纵起破长空 做了一世真英雄 ”\ ——& ext{《何日重到苏澜桥》By 泠鸢yousa} end{split} ]

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