• Codeforces1097D. Makoto and a Blackboard(数论+dp+概率期望)


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    题目大意:

      给出一个整数n写在黑板上,每次操作会将黑板上的数(初始值为n)等概率随机替换成它的因子。

      问k次操作之后,留在黑板上的数的期望。

      要求结果对109+7取模,若结果不是整数,则用分数表示,并对109+7取逆元。

      (1 ≤ n ≤ 1015, 1 ≤ k ≤ 104

    思路:

      首先我们要知道,在模109+7的范围内,可以任意进行模109+7的加减乘除运算,因为一个给定的数值,它在模109+7条件下的值是唯一确定的

      然后我们只要正常地计算,在每次运算之后对109+7取模就好了。

      假设一个数pj的出现概率为x,其中p为质数,j为任意非负整数(假设初始的数为pcc的话,那么0 ≤ j ≤ cc)。那么一次操作留下的数只能是pt(0 ≤ t j),因为是等概率分布,所以每个留下的数的概率均为x/j = x * inv(j)。(inv表示在模109+7下取逆元)

      标记状态:dp[i][j]为第i次操作后p的j次幂出现的概率;

      那么状态转移方程为:dp[i+1][t] += dp[i][j] * inv(j);(0 ≤ t ≤ j

      而题目给出的数可能不是一个质数的幂,这怎么办呢?我们知道任意一个正整数可以表示为p1cc1*p2cc2*…*pkcck,对于所有的picci,他们留下的数piji的乘积就是最后留下的数,所以他们对答案的贡献的乘积就是最后的答案。

    代码:

    #include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int md = 1e9 + 7;
    
    inline void add(int& a, int b) {
        a += b;
        if (a > md)
            a -= md;
    }
    
    inline void sub(int& a, int b) {
        a -= b;
        if (a < 0)
            a += md;
    }
    
    inline int mul(int a, int b) {
        return (int) (1LL * a * b % md);
    }
    
    int fpow(int a, int p) {
        int res = 1;
        for (; p; p >>= 1) {
            if (p & 1)
                res = mul(res, a);
            a = mul(a, a);
        }
        return res;
    }
    
    int inv(int x) {
        return fpow(x, md-2);
    }
    
    int main()
    {
        std::ios::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(nullptr);
        ll n;
        int k;
        cin >> n >> k;
        vector <pair<ll, int> > f;
        for (ll i = 2; i <= n/i; i++) {
            if (n % i == 0) {
                int cc = 0;
                while (n % i == 0) {
                    n /= i;
                    cc++;
                }
                f.emplace_back(i, cc);
            }
        }
        if (n > 1)
            f.emplace_back(n, 1);
    
        int ans = 1;
        for (auto& p : f) {
            int cc = p.second;
            vector <vector<int> > dp(k+1, vector<int>(cc+1, 0));
            dp[0][cc] = 1;
            for (int i = 0; i < k; i++) {
                for (int j = 0; j <= cc; j++) {
                    int tmp = mul(dp[i][j], inv(j+1));
                    for (int t = 0; t <= j; t++)
                        add(dp[i+1][t], tmp);
                }
            }
    
            int x = 1, res = 0;
            for (int i = 0; i <= cc; i++) {
                add(res, mul(x, dp[k][i]));
                x = mul(x, (int)(p.first % md));
            }
            ans = mul(ans, res);
        }
        cout << ans << endl;
        return 0;
    }
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