拦截导弹

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描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，并观测到导弹依次飞来的高度，请计算这套系统最多能拦截多少导弹。拦截来袭导弹时，必须按来袭导弹袭击的时间顺序，不允许先拦截后面的导弹，再拦截前面的导弹。

输入

输入有两行，
第一行，输入雷达捕捉到的敌国导弹的数量k（k<=25），
第二行，输入k个正整数，表示k枚导弹的高度，按来袭导弹的袭击时间顺序给出，以空格分隔。

输出

输出只有一行，包含一个整数，表示最多能拦截多少枚导弹。

样例输入

8
300 207 155 300 299 170 158 65

样例输出

6

分析

经典的最长上升子序列问题，只不过这里是求下降子序列。此类问题个人认为不易想出递归的思路推出动规，所以直接找子问题：求以i为终点的下降子序列写出动规。

///递推型动规
#include <iostream>

using namespace std;
int a[26];
int main()
{
    int maxLen[26];//存以i为终点的最长下降子序列长度
    int k;
    cin>>k;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        cin>>a[i];
        maxLen[i]=1;
    }

    for(int i=2;i<=k;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(a[j]>=a[i]){//相等也符合
                maxLen[i]=max(maxLen[i],maxLen[j]+1);
            }
        }
    }

    int max=maxLen[1];
    for(int i=1;i<=k;i++){
        if(max<maxLen[i]){
            max=maxLen[i];
        }
    }
    cout<<max<<endl;
    return 0;
}

解释一下，为什么maxLen[i]=max(maxLen[i],maxLen[j]+1)，举个栗子，假设序列为 4 3 2 5 0 1。

i为6指向1，i前面的maxLen都算出来了，为maxLen[6]={,1,2,3,1,2,1}，j从1到i开始遍历。j从1到3时，maxLen分别更新为2，3，4，子序列变长。当j为4时，j指向5大于i指向的1，而maxLen[4]=1加上1为2，比maxLen[i]=4小所以maxLen[4]=4,子序列长度没有变化。所以才能求出不连续的下降子序列的长度。