位运算简介以及常用技巧

A.什么是位运算 ?

计算机里的内存都是用 二进制 储存的，说白了位运算就是对这些 二进制数 去操作
由于是直接对 二进制数 去进行操作，就会有许多优秀的性质.
一般来说有这么几个常用的 位运算 符号 ：

位运算符号	名称	规则	例子
&	与运算符	相同位的两个数字都为 (1) 则为 (1); 若有一个不为 (1), 则为 (0)	1100 & 1010 = 1000
|	或运算符	相同位要有一个为 1 则为 1	1100 | 1010 = 1110
^	异或运算符	相同位不同则为 (1), 相同则为 (0)	1100 ^ 1010 = 0110
~	取反运算符	(0) 和 (1) 全部取反	~1001 = 0110
<<	左移运算	x << n 相当与 (x imes 2 ^ n)	101 << 2 = 10100
>>	右移运算	x >> n 相当于 (x / 2 ^ n)	1010 >> 2 = 10

---

B.二进制枚举

0. 代替一类 0/1 dfs

一个二进制数的 (0/1) 可以代表集合中某一个元素选与不选
既然这样我们只要枚举一个二进制数就可以代替递归版本的 dfs
这样做虽然可以避免递归操作的较大常数
但是我们只得到了一个二进制数，我们还要把它用 (O(logn)) 的时间复杂度把它解码，emmm...反正看情况哪个方便用哪个呗qwq

1. 枚举子集

for(int i = S; i; i = i - 1 & S)

2. 枚举包含指定元素的集合

for(int i = S; i; i = i + 1 | S)

3. 枚举指定个数元素的集合*（常数有点大）

int x, b, t, c, m, r;
	x = BinRd();
	b = x & -x;
	t = x + b; 
	c = t ^ x; 
	m = (c >> 2) / b;
	r = t | m;

C.一种位运算的前缀求和

1.求：

[sum_{i = 1}^nsum_{j =1}^iA_i xor A_j ]

可以去处理数组 (pre[i][32][0 / 1]) 表示 (i) 之前的数某一位上有多少个 (0 / 1)

每一位分别 (logn) 计算答案，(logn) 修改 前缀 (pre) 数组

假如把 (xor) 换成 (and) 的话只要计算某一位上有多少个 (1) 就好了，可以少一维

2.求：

[sum_{i < j < k} (A_ixorA_j) imes (A_jxorA_k) ]

发现 (j) 在中间，那么我们求一个 (bit[32][0 / 1]) 前缀和，求一个 (bit[32][0 / 1]) 后缀和

枚举每一个位置 (logn) 计算就好了