洛谷 P2523 [HAOI2011]Problem c

题目描述

给n个人安排座位，先给每个人一个1~n的编号，设第i个人的编号为ai（不同人的编号可以相同），接着从第一个人开始，大家依次入座，第i个人来了以后尝试坐到ai，如果ai被占据了，就尝试ai+1，ai+1也被占据了的话就尝试ai+2，……，如果一直尝试到第n个都不行，该安排方案就不合法。然而有m个人的编号已经确定(他们或许贿赂了你的上司...)，你只能安排剩下的人的编号，求有多少种合法的安排方案。由于答案可能很大，只需输出其除以M后的余数即可。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数T，表示数据组数

对于每组数据，第一行有三个整数，分别表示n、m、M

若m不为0，则接下来一行有m对整数，p1、q1，p2、q2 ,…, pm、qm，其中第i对整数pi、qi表示第pi个人的编号必须为qi

输出格式：

对于每组数据输出一行，若是有解则输出YES，后跟一个整数表示方案数mod M，注意，YES和数之间只有一个空格，否则输出NO

输入输出样例

输入样例#1：

2
4 3 10
1 2 2 1 3 1
10 3 8882
7 9 2 9 5 10

输出样例#1：

YES 4
NO

说明

100%的数据满足：1≤T≤10，1≤n≤300，0≤m≤n，2≤M≤109，1≤pi、qi≤n 且保证pi互不相同。

首先需要巨量的观察，题目直接给出的条件太过抽象没法用

我的思路是这样的，显然如果要满足条件，1~n中的每一个位置都要被占据，那显然如果对于每个前缀1~k，编号在1~k之内的人至少要有k个，这显然是个必要条件，然后再仔细一试，发现这也是个充分条件，这是性质1

然后在经过一阵倒腾，还可以发现这个最终结果是不是合法和人来的顺序没有关系，也就是说只要每种编号的数量确定了，最终的结果也就确定了，和具体的编号分配无关，这是性质2

综合性质1和性质2，就可以dp了

先把所有的固定编号的人去掉求一下每个前缀剩下的的人数限制sum[i]，如果有某个sum[i]大于n-m那就是NO

dp[i][j]表示前编号1~i有j个人的方法数，枚举编号i的人数k，k至少是0，至多不能使上一位不合法，也就是，j-k不能小于sum[i-1]，然后再乘个C(j,k)即可

总的来说

$$ dp[i][j] = sum_{k=0}^{j-max(0,sum[i-1])}dp[i-1][j-k] imesinom{j}{k} $$

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#include <vector>
#include <queue>
#include <time.h>
#define eps 1e-7
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD 1000000007
#define rep0(j,n) for(int j=0;j<n;++j)
#define rep1(j,n) for(int j=1;j<=n;++j)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define set0(n) memset(n,0,sizeof(n))
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define iter(i,v) for(edge *i=head[v];i;i=i->nxt)
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define print_runtime printf("Running time:%.3lfs
",double(clock())/1000.0)
#define TO(j) printf(#j": %d
",j);
//#define OJ
using namespace std;
const int MAXINT = 100010;
const int MAXNODE = 100010;
const int MAXEDGE = 2 * MAXNODE;
char BUF, *buf;
int read() {
    char c = getchar(); int f = 1, x = 0;
    while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (isdigit(c)) {x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();}
    return f * x;
}
char get_ch() {
    char c = getchar();
    while (!isalpha(c)) c = getchar();
    return c;
}
//------------------- Head Files ----------------------//

int C[310][310], n, m, M;
ll dp[310][310], sum[310];
void get_input();
void work();
void init_C() {
    C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 300; i++) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % M;
        }
    }
}
int main() {
    int T = read();
    while (T--) {
        get_input();
        init_C();
        work();
    }
    return 0;
}
void work() {
    for (int i = 2; i <= n; i++) sum[i] += sum[i - 1];
    rep1(i, n) if (sum[i] > n - m) {printf("NO
"); return;}
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 1;
    rep1(i, n) {
        for (int j = max(0, sum[i]); j <= n - m; j++) {
            for (int k = 0; k <= j - max(0, sum[i - 1]); k++) {
                dp[i][j] += dp[i - 1][j - k] * C[j][k];
                dp[i][j] %= M;
            }
        }
    }
    printf("YES %lld
",dp[n][n-m]);
}
void get_input() {
    fill(sum + 1, sum + 310, 1);
    n = read(); m = read(); M = read();
    rep0(i, m) {
        int p = read(), q = read();
        sum[q]--;
    }
}