可并堆

可并堆

0x00 简介

• 顾名思义咯，可以在O(logn)甚至O(1)时间内合并的堆
• 也没什么好说的

0x01 左偏树

• 一种特殊的堆，要求左子树的距离大于右子树的距离
• 具体实现也很奇怪，像是非旋treap那样合并
• 最恶劣情况下的树高是O(n)，暴力往上爬是不可取的，需要额外开一个并查集维护根节点
• 我不太想讲这个，因为常数大而且不好理解
• 不过板子我写了，可以看代码

0x02 配对堆

• 说实话，这个东西的思路很多人在初学二叉堆的时候都有过
• 回忆一下向二叉堆里插入一个数的情况，我们把这个数放在size+1这个位置，然后通过一些调整维护堆的性质
• 那为什么我们不直接像并查集一样，把这个数挂到根节点下面呢？（也可能是把根节点挂到这个点下面）
• 这样子插入就变成O(1)了对吧？
• 这样的话，假设我们维护的是一个小根堆，如果我们要减少某个数的值，只要把以它为根的子树拆出来，然后再和根合并就行了对吧？这个操作也是O(1)的
• 取最大/最小元素自然不必说，也是O(1)的
• 唯一的问题在于，如何pop出一个元素
• 由于我们直接把数合并到根节点上，一个节点可能不止有两个儿子，这会导致如果我们想要像二叉堆那样调整，复杂度会退化成一个非常恐怖的值，求导了半天算出来是(latex O(e^{frac{n}{e}}))
• 我们有个很妙的做法，把儿子两两合并起来，用最后的结果取代原来的根，这样做是O(n)的
• 然而，如果我们这样做完的结果让儿子分配的更平均（儿子被均匀的分开，没有一个节点儿子特别多）了，显然下一次的合并的复杂度就会更优
• 我们考虑一个点u，她的儿子是{1,2,3,4,5,6,7,8}
• 然后我们做这样的操作
• {1,2,3,4,5,6,7,8}
• {3,4,5,6,7,8,{1,2}}
• {5,6,7,8,{1,2},{3,4}}
• {7,8,{1,2},{3,4},{5,6}}
• {{1,2},{3,4},{5,6},{7,8}}
• {{5,6},{7,8},{1,2,3,4}}
• {{1,2,3,4},{5,6,7,8}}
• {{1,2,3,4,5,6,7,8}}
• 你可能已经看出来了，不断地从队首取两个元素出来合并起来，把合并完的结果丢到队尾，直到队中只有一个元素
• 显然，这样至少会把儿子平均分成两半
• 然后pop操作就是均摊log了
• 然后我们就可以维护一些有趣的操作，比如在小根堆里把一个数增加一个值
• 把她从堆里拆出来，然后把她pop出来，再合并回去
• 总体来说是很好写的，我们采用父亲-兄弟存图的方法，对于一个点维护一下它的前驱，后继，父亲，第一个儿子，pop的时候把所有儿子拆下来丢进一个队列里，合并的时候讨论一下就行了
• 然而树高还是最坏O(n)的，还是需要并查集辅助

0x03 拓展！

• 如果我们想要做一类要求合并联通块，单点修改，联通块修改，全局修改，单点查询，联通块查询，全局查询的问题（我说的就是棘手的操作），并且要求强制在线（不然直接线段树就好了）的问题，我们要怎么搞呢？
• 我们需要一个神奇的堆套堆
• 分别考虑每种操作和询问，注意每个操作中都要维护可并堆的根
• 合并联通块：把两个可并堆并起来，并查集也并起来，并且对标记差分（下面会讲）
• 单点修改：拆出来，pop，修改，并回去
• 联通块修改：这是重点，由于我们不能做标记下传，我们需要标记永久化，标价在哪呢？不能打在可并堆上，因为堆的高度不合理，暴力往上爬是不可行的。但是如果我们放弃并查集的路径压缩，仅采用按秩合并，我们发现并查集的高度是合理的，而且形态很稳定。不妨把标记打在并查集的根上。然而合并的时候会出现问题，比如我们把u和v两个节点合并，u的size较大，一般来说我们直接让father[v]=u,size[u]+=size[v]即可，但是这样会导致u之前打的tag影响到v中的节点，所以我们做一个差分，让tag[v]-=tag[u]（来自hhf的思路，%%%%）
• 全局修改：另开一个变量专门存放全局修改
• 单点查询：在并查集中暴力网上爬累加标记即可
• 联通块查询：找到堆顶即可
• 全局查询： 额外维护一个根，里面放的是所有堆的堆顶元素的值，懒的话可以像捉迷藏那样写个双堆
• 似乎还有一个问题：单点修改似乎会破坏堆的形态啊？可能并查集的根不是堆的根啊？
• 注意，在这里并查集只用来维护联通块，并且在堆顶维护可并堆的根的位置，实际形态和堆的形态没有关系
• 当然，废话了那么多都是在可并堆深度O(n)的前提下的，如果写O(log)的随机堆的话直接在堆里暴力上爬就行了
• 但为什么我棘手的操作还是只有90分啊？第三个点是什么东西啊？
• 更新：原来是合并的时候忘了维护全局答案了。。。