12、【堆】二项堆

一、二项树的介绍

二项树的定义

二项堆是二项树的集合。在了解二项堆之前，先对二项树进行介绍。

二项树是一种递归定义的有序树。它的递归定义如下：
　　(1) 二项树B₀只有一个结点；
　　(2) 二项树B_k由两棵二项树B_(k-1)组成的，其中一棵树是另一棵树根的最左孩子。

如下图所示：

上图的B₀、B₁、B₂、B₃、B₄都是二项树。对比前面提到的二项树的定义：B₀只有一个节点，B₁由两个B₀所组成，B₂由两个B₁所组成，B₃由两个B₂所组成，B₄由两个B₃所组成；而且，当两颗相同的二项树组成另一棵树时，其中一棵树是另一棵树的最左孩子。

二项树的性质

二项树有以下性质：
[性质一] B_k共有2^k个节点。
[性质二] B_k的高度为k。
[性质三] B_k在深度i处恰好有C_(k,i)个节点，其中i=0,1,2,...,k。
[性质四] 根的度数为k，它大于任何其它节点的度数。
注意：树的高度和深度是相同的。

下面对这几个性质进行简单说明：
[性质一] B_k共有2^k个节点。
如上图所示，B₀有2⁰=1节点，B₁有2¹=2个节点，B₂有2²=4个节点，...
[性质二] B_k的高度为k。
如上图所示，B₀的高度为0，B₁的高度为1，B₂的高度为2，...
[性质三] B_k在深度i处恰好有C_(k,i)个节点，其中i=0,1,2,...,k。
C_(k,i)是高中数学中阶乘元素，例如，C_(10,3)=(10*9*8) / (3*2*1)=240
B₄中深度为0的节点C_(4,0)=1
B₄中深度为1的节点C_(4,1)= 4 / 1 = 4
B₄中深度为2的节点C_(4,2)= (4*3) / (2*1) = 6
B₄中深度为3的节点C_(4,3)= (4*3*2) / (3*2*1) = 4
B₄中深度为4的节点C_(4,4)= (4*3*2*1) / (4*3*2*1) = 1
合计得到B₄的节点分布是(1,4,6,4,1)。
[性质四] 根的度数为k，它大于任何其它节点的度数。
节点的度数是该结点拥有的子树的数目。

二、二项堆的介绍

二项堆通常被用来实现优先队列，它堆是指满足以下性质的二项树的集合：
　　(1) 每棵二项树都满足最小堆性质。即，父节点的关键字 <= 它的孩子的关键字。
　　(2) 不能有两棵或以上的二项树具有相同的度数(包括度数为0)。换句话说，具有度数k的二项树有0个或1个。

上图就是一棵二项堆，它由二项树B₀、B₂和B₃组成。对比二项堆的定义：(01)二项树B₀、B₂、B₃都是最小堆；(02)二项堆不包含相同度数的二项树。

二项堆的第(1)个性质保证了二项堆的最小节点是某一棵二项树的根节点，第(2)个性质则说明结点数为n的二项堆最多只有log{n} + 1棵二项树。实际上，将包含n个节点的二项堆，表示成若干个2的指数和(或者转换成二进制)，则每一个2个指数都对应一棵二项树。例如，13(二进制是1101)的2个指数和为13=2³ + 2² + 2⁰, 因此具有13个节点的二项堆由度数为3, 2, 0的三棵二项树组成。

三、二项堆的基本操作

二项堆是可合并堆，它的合并操作的复杂度是O(log n)。

1. 基本定义

 1 template <class T>
 2 class BinomialNode {
 3     public:
 4         T key;                      // 关键字(键值)
 5         int degree;                 // 度数
 6         BinomialNode<T> *child;     // 左孩子
 7         BinomialNode<T> *parent;    // 父节点
 8         BinomialNode<T> *next;      // 兄弟节点
 9 
10         BinomialNode(T value):key(value), degree(0), 
11             child(NULL),parent(NULL),next(NULL) {}
12 };

BinomialNode是二项堆的节点。它包括了关键字(key)，用于比较节点大小；度数(degree)，用来表示当前节点的度数；左孩子(child)、父节点(parent)以及兄弟节点(next)。

 1 template <class T>
 2 class BinomialHeap {
 3     private:
 4         BinomialNode<T> *mRoot;    // 根结点
 5 
 6     public:
 7         BinomialHeap();
 8         ~BinomialHeap();
 9 
10         // 新建key对应的节点，并将其插入到二项堆中
11         void insert(T key);
12         // 将二项堆中键值oldkey更新为newkey
13         void update(T oldkey, T newkey);
14         // 删除键值为key的节点
15         void remove(T key);
16         // 移除二项堆中的最小节点
17         void extractMinimum();
18 
19          // 将other的二项堆合并到当前二项堆中
20         void combine(BinomialHeap<T>* other);
21 
22          // 获取二项堆中的最小节点的键值
23         T minimum();
24         // 二项堆中是否包含键值key
25         bool contains(T key);
26         // 打印二项堆
27         void print();
28     private:
29 
30         // 合并两个二项堆：将child合并到root中
31         void link(BinomialNode<T>* child, BinomialNode<T>* root);
32         // 将h1, h2中的根表合并成一个按度数递增的链表，返回合并后的根节点
33         BinomialNode<T>* merge(BinomialNode<T>* h1, BinomialNode<T>* h2);
34          // 合并二项堆：将h1, h2合并成一个堆，并返回合并后的堆
35         BinomialNode<T>* combine(BinomialNode<T>* h1, BinomialNode<T>* h2);
36         // 反转二项堆root，并返回反转后的根节点
37         BinomialNode<T>* reverse(BinomialNode<T>* root);
38         // 移除二项堆root中的最小节点，并返回删除节点后的二项树
39         BinomialNode<T>* extractMinimum(BinomialNode<T>* root);
40         // 删除节点：删除键值为key的节点，并返回删除节点后的二项树
41         BinomialNode<T>* remove(BinomialNode<T> *root, T key);
42         // 在二项树root中查找键值为key的节点
43         BinomialNode<T>* search(BinomialNode<T>* root, T key);
44 
45         // 增加关键字的值：将二项堆中的节点node的键值增加为key。
46         void increaseKey(BinomialNode<T>* node, T key);
47         // 减少关键字的值：将二项堆中的节点node的键值减小为key
48         void decreaseKey(BinomialNode<T>* node, T key);
49         // 更新关键字的值：更新二项堆的节点node的键值为key
50         void updateKey(BinomialNode<T>* node, T key);
51 
52         // 获取二项堆中的最小根节点
53         void minimum(BinomialNode<T>* root, BinomialNode<T> *&prev_y, BinomialNode<T> *&y);
54         // 打印二项堆
55         void print(BinomialNode<T>* node, BinomialNode<T>* prev, int direction);
56 };

BinomialHeap是二项堆对应的类，它包括了二项堆的根节点mRoot以及二项堆的基本操作的定义。

下面是一棵二项堆的树形图和它对应的内存结构关系图。

2. 合并操作

合并操作是二项堆的重点，它的添加操作也是基于合并操作来实现的。合并两个二项堆，需要的步骤概括起来如下：
　　(1) 将两个二项堆的根链表合并成一个链表。合并后的新链表按照"节点的度数"单调递增排列。
　　(2) 将新链表中"根节点度数相同的二项树"连接起来，直到所有根节点度数都不相同。

下面，先看看合并操作的代码；然后再通过示意图对合并操作进行说明。
merge()代码(C++)

 1 /*
 2  * 将h1, h2中的根表合并成一个按度数递增的链表，返回合并后的根节点
 3  */
 4 template <class T>
 5 BinomialNode<T>* BinomialHeap<T>::merge(BinomialNode<T>* h1, BinomialNode<T>* h2)
 6 {
 7     BinomialNode<T>* root = NULL; //heap为指向新堆根结点
 8     BinomialNode<T>** pos = &root;
 9 
10     while (h1 && h2)
11     {
12         if (h1->degree < h2->degree)
13         {
14             *pos = h1;
15             h1 = h1->next;
16         } 
17         else 
18         {
19             *pos = h2;
20             h2 = h2->next;
21         }
22         pos = &(*pos)->next;
23     }
24     if (h1)
25         *pos = h1;
26     else
27         *pos = h2;
28 
29     return root;
30 }

link()代码(C++)

 1 /*
 2  * 合并两个二项堆：将child合并到root中
 3  */
 4 template <class T>
 5 void BinomialHeap<T>::link(BinomialNode<T>* child, BinomialNode<T>* root)
 6 {
 7     child->parent = root;
 8     child->next   = root->child;
 9     root->child = child;
10     root->degree++;
11 }

合并操作代码(C++)

/*
 * 合并二项堆：将h1, h2合并成一个堆，并返回合并后的堆
 */
template <class T>
BinomialNode<T>* BinomialHeap<T>::combine(BinomialNode<T>* h1, BinomialNode<T>* h2)
{
    BinomialNode<T> *root;
    BinomialNode<T> *prev_x, *x, *next_x;

    // 将h1, h2中的根表合并成一个按度数递增的链表root
    root = merge(h1, h2);
    if (root == NULL)
        return NULL;
 
    prev_x = NULL;
    x      = root;
    next_x = x->next;
 
    while (next_x != NULL)
    {
        if (   (x->degree != next_x->degree) 
            || ((next_x->next != NULL) && (next_x->degree == next_x->next->degree))) 
        {
            // Case 1: x->degree != next_x->degree
            // Case 2: x->degree == next_x->degree == next_x->next->degree
            prev_x = x;
            x = next_x;
        } 
        else if (x->key <= next_x->key) 
        {
            // Case 3: x->degree == next_x->degree != next_x->next->degree
            //      && x->key    <= next_x->key
            x->next = next_x->next;
            link(next_x, x);
        } 
        else 
        {
            // Case 4: x->degree == next_x->degree != next_x->next->degree
            //      && x->key    >  next_x->key
            if (prev_x == NULL) 
            {
                root = next_x;
            } 
            else 
            {
                prev_x->next = next_x;
            }
            link(x, next_x);
            x = next_x;
        }
        next_x = x->next;
    }

    return root;
}

/*
 * 将二项堆other合并到当前堆中
 */
template <class T>
void BinomialHeap<T>::combine(BinomialHeap<T> *other)
{
    if (other!=NULL && other->mRoot!=NULL)
        mRoot = combine(mRoot, other->mRoot);
}

合并函数combine(h1, h2)的作用是将h1和h2合并，并返回合并后的二项堆。在combine(h1, h2)中，涉及到了两个函数merge(h1, h2)和link(child, root)。
merge(h1, h2)就是我们前面所说的"两个二项堆的根链表合并成一个链表，合并后的新链表按照'节点的度数'单调递增排序"。
link(child, root)则是为了合并操作的辅助函数，它的作用是将"二项堆child的根节点"设为"二项堆root的左孩子"，从而将child整合到root中去。

在combine(h1, h2)中对h1和h2进行合并时；首先通过 merge(h1, h2) 将h1和h2的根链表合并成一个"按节点的度数单调递增"的链表；然后进入while循环，对合并得到的新链表进行遍历，将新链表中"根节点度数相同的二项树"连接起来，直到所有根节点度数都不相同为止。在将新联表中"根节点度数相同的二项树"连接起来时，可以将被连接的情况概括为4种。

x是根链表的当前节点，next_x是x的下一个(兄弟)节点。
Case 1: x->degree != next_x->degree
即，"当前节点的度数"与"下一个节点的度数"相等时。此时，不需要执行任何操作，继续查看后面的节点。
Case 2: x->degree == next_x->degree == next_x->next->degree
即，"当前节点的度数"、"下一个节点的度数"和"下下一个节点的度数"都相等时。此时，暂时不执行任何操作，还是继续查看后面的节点。实际上，这里是将"下一个节点"和"下下一个节点"等到后面再进行整合连接。
Case 3: x->degree == next_x->degree != next_x->next->degree
&& x->key <= next_x->key
即，"当前节点的度数"与"下一个节点的度数"相等，并且"当前节点的键值"<="下一个节点的度数"。此时，将"下一个节点(对应的二项树)"作为"当前节点(对应的二项树)的左孩子"。
Case 4: x->degree == next_x->degree != next_x->next->degree
&& x->key > next_x->key
即，"当前节点的度数"与"下一个节点的度数"相等，并且"当前节点的键值">"下一个节点的度数"。此时，将"当前节点(对应的二项树)"作为"下一个节点(对应的二项树)的左孩子"。
下面通过示意图来对合并操作进行说明。

第1步：将两个二项堆的根链表合并成一个链表
执行完第1步之后，得到的新链表中有许多度数相同的二项树。实际上，此时得到的是对应"Case 4"的情况，"树41"(根节点为41的二项树)和"树13"的度数相同，且"树41"的键值 > "树13"的键值。此时，将"树41"作为"树13"的左孩子。
第2步：合并"树41"和"树13"
执行完第2步之后，得到的是对应"Case 3"的情况，"树13"和"树28"的度数相同，且"树13"的键值 < "树28"的键值。此时，将"树28"作为"树13"的左孩子。
第3步：合并"树13"和"树28"
执行完第3步之后，得到的是对应"Case 2"的情况，"树13"、"树28"和"树7"这3棵树的度数都相同。此时，将x设为下一个节点。
第4步：将x和next_x往后移
执行完第4步之后，得到的是对应"Case 3"的情况，"树7"和"树11"的度数相同，且"树7"的键值 < "树11"的键值。此时，将"树11"作为"树7"的左孩子。
第5步：合并"树7"和"树11"
执行完第5步之后，得到的是对应"Case 4"的情况，"树7"和"树6"的度数相同，且"树7"的键值 > "树6"的键值。此时，将"树7"作为"树6"的左孩子。
第6步：合并"树7"和"树6"
此时，合并操作完成！

PS. 合并操作的图文解析过程与"二项堆的测试程序(Main.cpp)中的testUnion()函数"是对应的！

3. 插入操作

理解了"合并"操作之后，插入操作就相当简单了。插入操作可以看作是将"要插入的节点"和当前已有的堆进行合并。

插入操作代码(C++)

 1 /*
 2  * 新建key对应的节点，并将其插入到二项堆中。
 3  */
 4 template <class T>
 5 void BinomialHeap<T>::insert(T key)
 6 {
 7     BinomialNode<T>* node;
 8 
 9     // 禁止插入相同的键值
10     if (contains(key))
11     {
12         cout << "Insert Error: the key (" << key << ") is existed already!" << endl;
13         return ;
14     }
15 
16     node = new BinomialNode<T>(key);
17     if (node==NULL)
18         return ;
19 
20     mRoot = combine(mRoot, node);
21 }

在插入时，首先通过contains(key)查找键值为key的节点。存在的话，则直接返回；不存在的话，则新建BinomialNode对象node，然后将node和heap进行合并。

注意：我这里实现的二项堆是"进制插入相同节点的"！若你想允许插入相同键值的节点，则屏蔽掉插入操作中的contains(key)部分代码即可。

4. 删除操作

删除二项堆中的某个节点，需要的步骤概括起来如下：
(01) 将"该节点"交换到"它所在二项树"的根节点位置。方法是，从"该节点"不断向上(即向树根方向)"遍历，不断交换父节点和子节点的数据，直到被删除的键值到达树根位置。
(02) 将"该节点所在的二项树"从二项堆中移除；将该二项堆记为heap。
(03) 将"该节点所在的二项树"进行反转。反转的意思，就是将根的所有孩子独立出来，并将这些孩子整合成二项堆，将该二项堆记为child。
(04) 将child和heap进行合并操作。

下面，先看看删除操作的代码；再进行图文说明。
reverse()代码(C++)

 1 /*
 2  * 反转二项堆root，并返回反转后的根节点
 3  */
 4 template <class T>
 5 BinomialNode<T>* BinomialHeap<T>::reverse(BinomialNode<T>* root)
 6 {
 7     BinomialNode<T>* next;
 8     BinomialNode<T>* tail = NULL;
 9 
10     if (!root)
11         return root;
12 
13     root->parent = NULL;
14     while (root->next) 
15     {
16         next          = root->next;
17         root->next = tail;
18         tail          = root;
19         root          = next;
20         root->parent  = NULL;
21     }
22     root->next = tail;
23 
24     return root;
25 }

删除操作代码(C++)

 1 /* 
 2  * 删除节点：删除键值为key的节点
 3  */
 4 template <class T>
 5 BinomialNode<T>* BinomialHeap<T>::remove(BinomialNode<T>* root, T key)
 6 {
 7     BinomialNode<T> *node;
 8     BinomialNode<T> *parent, *prev, *pos;
 9 
10     if (root==NULL)
11         return root;
12 
13     // 查找键值为key的节点
14     if ((node = search(root, key)) == NULL)
15         return root;
16 
17     // 将被删除的节点的数据数据上移到它所在的二项树的根节点
18     parent = node->parent;
19     while (parent != NULL)
20     {
21         // 交换数据
22         swap(node->key, parent->key);
23         // 下一个父节点
24         node   = parent;
25         parent = node->parent;
26     }
27 
28     // 找到node的前一个根节点(prev)
29     prev = NULL;
30     pos  = root;
31     while (pos != node) 
32     {
33         prev = pos;
34         pos  = pos->next;
35     }
36     // 移除node节点
37     if (prev)
38         prev->next = node->next;
39     else
40         root = node->next;
41 
42     root = combine(root, reverse(node->child)); 
43 
44     delete node;
45 
46     return root;
47 }
48 
49 template <class T>
50 void BinomialHeap<T>::remove(T key)
51 {
52     mRoot = remove(mRoot, key);
53 }

remove(key)的作用是删除二项堆中键值为key的节点，并返回删除节点后的二项堆。
reverse(root)的作用是反转二项堆root，并返回反转之后的根节点。
下面通过示意图来对删除操作进行说明(删除二项堆中的节点20)。

总的思想，就是将被"删除节点"从它所在的二项树中孤立出来，然后再对二项树进行相应的处理。

PS. 删除操作的图文解析过程与"二项堆的测试程序(Main.cpp)中的testDelete()函数"是对应的！

5. 更新操作

更新二项堆中的某个节点，就是修改节点的值，它包括两部分分："减少节点的值" 和 "增加节点的值" 。

更新操作代码(C++)

 1 /* 
 2  * 更新二项堆的节点node的键值为key
 3  */
 4 template <class T>
 5 void BinomialHeap<T>::updateKey(BinomialNode<T>* node, T key)
 6 {
 7     if (node == NULL)
 8         return ;
 9 
10     if(key < node->key)
11         decreaseKey(node, key);
12     else if(key > node->key)
13         increaseKey(node, key);
14     else
15         cout <<"No need to update!!!" <<endl;
16 }
17 
18 /* 
19  * 将二项堆中键值oldkey更新为newkey
20  */
21 template <class T>
22 void BinomialHeap<T>::update(T oldkey, T newkey)
23 {
24     BinomialNode<T> *node;
25 
26     node = search(mRoot, oldkey);
27     if (node != NULL)
28         updateKey(node, newkey);
29 }

5.1 减少节点的值

减少节点值的操作很简单：该节点一定位于一棵二项树中，减小"二项树"中某个节点的值后要保证"该二项树仍然是一个最小堆"；因此，就需要我们不断的将该节点上调。

减少操作代码(C++)

 1 /* 
 2  * 减少关键字的值：将二项堆中的节点node的键值减小为key。
 3  */
 4 template <class T>
 5 void BinomialHeap<T>::decreaseKey(BinomialNode<T>* node, T key)
 6 {
 7     if(key>=node->key || contains(key))
 8     {
 9         cout << "decrease failed: the new key(" << key <<") is existed already, " 
10              << "or is no smaller than current key(" << node->key <<")" << endl;
11         return ;
12     }
13     node->key = key;
14  
15     BinomialNode<T> *child, *parent;
16     child = node;
17     parent = node->parent;
18     while(parent != NULL && child->key < parent->key)
19     {
20         swap(parent->key, child->key);
21         child = parent;
22         parent = child->parent;
23     }
24 }

下面是减少操作的示意图(20->2)

减少操作的思想很简单，就是"保持被减节点所在二项树的最小堆性质"。

PS. 减少操作的图文解析过程与"测试程序(Main.cpp)中的testDecrease()函数"是对应的！

5.2 增加节点的值

增加节点值的操作也很简单。上面说过减少要将被减少的节点不断上调，从而保证"被减少节点所在的二项树"的最小堆性质；而增加操作则是将被增加节点不断的下调，从而保证"被增加节点所在的二项树"的最小堆性质。

增加操作代码(C++)

 1 /* 
 2  * 增加关键字的值：将二项堆中的节点node的键值增加为key。
 3  */
 4 template <class T>
 5 void BinomialHeap<T>::increaseKey(BinomialNode<T>* node, T key)
 6 {
 7     if(key<=node->key || contains(key))
 8     {
 9         cout << "decrease failed: the new key(" << key <<") is existed already, " 
10              << "or is no greater than current key(" << node->key <<")" << endl;
11         return ;
12     }
13 
14     node->key = key;
15 
16     BinomialNode<T> *cur, *child, *least;
17     cur = node;
18     child = cur->child;
19     while (child != NULL) 
20     {
21         if(cur->key > child->key)
22         {
23             // 如果"当前节点" < "它的左孩子"，
24             // 则在"它的孩子中(左孩子 和 左孩子的兄弟)"中，找出最小的节点；
25             // 然后将"最小节点的值" 和 "当前节点的值"进行互换
26             least = child;
27             while(child->next != NULL)
28             {
29                 if (least->key > child->next->key)
30                 {
31                     least = child->next;
32                 }
33                 child = child->next;
34             }
35             // 交换最小节点和当前节点的值
36             swap(least->key, cur->key);
37 
38             // 交换数据之后，再对"原最小节点"进行调整，使它满足最小堆的性质：父节点 <= 子节点
39             cur = least;
40             child = cur->child;
41         }
42         else
43         {
44             child = child->next;
45         }
46     }
47 }

下面是增加操作的示意图(6->60)

增加操作的思想很简单，"保持被增加点所在二项树的最小堆性质"。

PS. 增加操作的图文解析过程与"测试程序(Main.cpp)中的testIncrease()函数"是对应的！

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