最小生成树 prim
问题引入：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市需要n-1条路线，这是怎么样能在最节省经费的前提下建立这个通信网？
可以用联通网来表示n个城市，以及城市间的通信线路。其中顶点代表城市，边代表城市间线路，边的权值表示相应代价。n个顶点的联通网可以建立许多不同的生成树，其中要求的便是代价和最小的生成树。也称最小生成树。
构建生成树的算法多数利用了最小生成树的MST性质：
假设N=（V，E）是一个联通网，U是顶点集V的一个非空子集。若（u，v）是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V-U，则必定存在一颗包含边（u，v）的最小生成树
反证法：假设N的任何最小生成树都不包含（u，v），设T是联通网上的一颗最小生成树，当将边（u，v）加入T中，由生成树的定义，T中必定包含（u，v）的回路，由于T是生成树，则T上必存在另一条边（u`,v`），其中u`∈U，v`∈V-U，且u和u`之间，v和v`之间均有路径相通。删去边（u`，v`）,便可消除上述回路，同时得到另一颗生成树T`，因为（u，v）的权值不高于（u`，v`），则T`的权值不高于T，T`是包含（u，v）的一颗最小生成树，由此和假设矛盾。
Prim算法
步骤：
假设存在N=（V，E）是联通网。
1、将N分成两个集合 S={u0} T={V-S} TE是N最小生成树边的集合
2、在所有的u∈S，v∈T的边（u，v）中找到一条权值最小的边（u0，v0）并入集合（u0，v0）并入集合TE，点v0并入S中
3、重复步骤2，直到S=V为止
此时TE中的必定有n-1条边，则T=（V，TE）是n的最小生成树
代码实现：以模板题为例（POJ - 1287 B - Networking）
//邻接矩阵存储图 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int MAX=60; const int INF=0x3f3f3f3f; int n,m,a,b,len; int map[MAX][MAX]; //邻接矩阵存图 int dist[MAX]; //记录（u，v）的距离大小，其中u∈S， v∈T bool vis[MAX]; //记录点是否已经在集合S中 int prim() { for(int i=1;i<=n;i++) //初始化 { dist[i]=INF; vis[i]=false; } dist[1]=0; //从点1开始生成最小生成树 int min,pos,ans=0; for(int i=1;i<=n;i++) { min=INF; for(int j=1;j<=n;j++) //找到（u，v）的最小值（u0，v0） 该边一定是最小生成树中的一条边 { if(!vis[j]&&min>dist[j]) { min=dist[j]; pos=j; } } ans+=min; //加入生成树 vis[pos]=true; //将点 v0加入S集合中 for(int j=1;j<=n;j++) { if(!vis[j]&&dist[j]>map[pos][j]) //更新dist，看新集合S中是否存（u，v）更小的值，并取代 dist[j]=map[pos][j]; } } return ans; } int main() { while(1) { scanf("%d",&n); //顶点数 if(n==0)break; scanf("%d",&m); //边数 for(int i=1;i<=n;i++) //初始化 for(int j=1;j<=n;j++) map[i][j]=INF; while(m--) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&len); if(map[a][b]>len) map[a][b]=map[b][a]=len; } int ans=prim(); printf("%d ",ans); } return 0; }
算法分析
算法中有两个循环，一个初始化循环，第二个循环包含两个内循环：1、在dist中寻找最小值 2、重新选择具有最小权值的边
prim算法的时间复杂度为O（n2），与图的边数无关，适用于求稠密图（点少边多）的最小生成树。
prim堆优化
根据上面的分析可以知道prim花费时间在dist中寻找边的最小值，和更新最小权值边，外层的n次是不可避免的，因为需要将n个点都加入最小生成数中。因此能够优化的地方
是寻找最小边的值。这里我们可以用一个优先队列（小根堆）来维护（u，v）抵达生成树边的值，每次取出队列最前且合法的边加到生成树中就可以，不合法的在过程中丢弃。
代码实现
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> using namespace std; const int MAX=60; const int MAXN=30000; const int INF=0x3f3f3f3f; int head[MAX],cnt=0; int a,b,len,n,m; int dist[MAX]; bool vis[MAX]; struct Edge{ int next,to,val; }Edge[MAXN]; inline void add(int u,int v,int w) { Edge[cnt].to=v; Edge[cnt].val=w; Edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt++; } struct node{ int pos,dist; node(){} node(int p,int d) { dist=d;pos=p; } bool operator < (const node &rhs)const //重载< 变成小根堆 { return dist>rhs.dist; } }; int prim() { priority_queue<node>que; memset(vis,false,sizeof(vis)); //初始化 for(int i=head[1];i!=-1;i=Edge[i].next) //将第一个点相连的边加入优先队列中 que.push(node(Edge[i].to,Edge[i].val)); vis[1]=true; //第一个点在集合S中 int num=n-1,ans=0; while(num--) { node temp=que.top();que.pop(); //弹出小根堆第一个元素，这里第一个元素的dist最小 while(vis[temp.pos]) //但是并不一定可以用，若这个点已经在集合S中则不需要 { temp=que.top();que.pop(); } ans+=temp.dist; //将找到的边加入生成树中 vis[temp.pos]=true; //标记在S中的点（即加入生成树中的点） for(int i=head[temp.pos];i!=-1;i=Edge[i].next) //更新距离 if(!vis[Edge[i].to]) que.push(node(Edge[i].to,Edge[i].val)); } return ans; } int main() { while(1) { memset(head,-1,sizeof(head)),cnt=0; //初始化 scanf("%d",&n); if(n==0)break; scanf("%d",&m); while(m--) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&len); add(a,b,len); add(b,a,len); } int ans=prim(); printf("%d ",ans); } return 0; }
QAQ这道题看起来并没有快很多，反而慢了，自己也不太清楚，先占坑吧，
如有错误和不足欢迎指出，谢谢大家~
参考：
《数据结构 c语言版》严蔚敏
https://www.cnblogs.com/yspworld/p/4546098.html