3743. 【TJOI2014】Alice and Bob(alice)

Description

Alice 和 Bob 发明了一个新的游戏。给定一个序列 \(\{x_0,x_1,…,x_{n-1}\}\)。Alice 得到一个序列 \(\{a_0,a_1,…,a_{n-1}\}\)，其中 \(a_i\) 表示以 \(x_i\) 结尾的最长上升子序列的长度；Bob 得到一个序列\(\{b_0,b_1,…,b_{n-1}\}\),其中 \(b_i\) 表示以 \(x_i\) 开头的最长下降子序列的长度。 Alice 的得分是序列 \(\{a_0,a_1,…,a_{n-1}\}\) 的和，Bob 的得分是 \(\{b_0,b_1,…,b_{n-1}\}\) 的和。

Solution

由于 \(x\) 中相同的元素没有贡献，因此我们钦定 \(x\) 是 \(1\sim n\) 的排列。

题目给出了 \(a\) 序列，要最大化 \(b\) 序列。那么我们可以根据 \(a\) 序列来约束 \(x\) 序列，从而得到最大的 \(b\) 序列。

对于 \(i<j\)，如果 \(a_i\ge a_j\)，则说明 \(x_i>x_j\)，反之则可以将 \(x_j\) 接在 \(x_i\) 后面。

如果 \(a_i+1=a_j\)，则至少有一个 \(i\) 满足 \(x_i<x_j\)。

那我们可以尝试用 \(\mathrm{dfs}\) 来解决这个问题。

对于每个 \(a_i\)，找到最靠近的 \(a_j\) 满足 \(a_j+1=a_i\)，连一条 \((i,j)\) 的边。

注意要使用前向星，因为前向星的特性就是后加入的边先遍历。

然后求出 \(\mathrm{dfs}\) 序，可以证明 \(\mathrm{dfs}\) 序就是 \(x\) 序列。

求出 \(x\) 序列后，可以用 \(\mathcal O(n\log n)\) 求出 \(b\) 序列。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
struct node
{
    int to,next;
}a[N<<1];
int n,x,tot,cnt,len,t[N],head[N],dfn[N],b[N],c[N];
ll ans;
void add(int x,int y)
{
    a[++tot].to=y;
    a[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}
void dfs(int x,int fa)
{
    dfn[x]=++cnt;
    for (int i=head[x];i!=-1;i=a[i].next)
    {
        int v=a[i].to;
        if (v==fa) continue;
        dfs(v,x);
    }
}
int main()
{
    freopen("alice.in","r",stdin);
    freopen("alice.out","w",stdout);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&x);
        add(t[x-1],i);add(i,t[x-1]);
        t[x]=i;
    }
    dfs(0,-1);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        --dfn[i];
    for (int i=1;i<=n;++i)
        b[i]=dfn[n-i+1];
    len=0;
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        int l=1,r=len,mid;
        while (l<=r)
        {
            mid=(l+r)>>1;
            if (b[i]>c[mid]) l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        len=max(len,l);
        c[l]=b[i];
        ans=ans+(ll)l;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}