最短路再放送

#前言 当我做另一道题使用最短路算法时，我习惯性地去$Luogu$博找$Dijksttra$的板子，这时候我觉得这种算法应该记住，于是我又重温了一遍最短路算法，发现了很多困惑，尤其是关于$SPFA$和$Dijkstra$算法的区别。因为我的$SPFA$和$Dijkstra$都使用了堆优化。 然后我困惑了很久，终于明白了，准备推样例理解一下，又心血来潮重温了一下$Dijkstra$算法为什么不能处理负权边，然后构造了一个带负权的有向图，结果呢。 **我的$Dijkstra$竟然跑出了正确的答案!** 我惊了，拿朋友的板子发现正确的$Dijkstra$算法是不能跑负权边的，于是我再去看我的板子，怀疑我的$Dijkstra$写成了$SPFA$，要是我发现了能处理负权边的$Dijkstra$算法，我估计会被保送吧哈哈。于是改掉了我的板子，所幸在$NOIP$前发现，在此简单总结一下最短路算法。 #$Floyed$ 多源最短路算法，运用了松弛的思想，有很浓重的$DP$气息(~~因为它就是$DP$~~)，通过枚举中间点转移。 复杂度$O(n^3)$，在解决最短路问题上基本没有用处，如果解决多源问题完全可以跑$n$遍$Dijkstra$，和矩阵乘法结合有一些用，具体我也忘了。 ``` memset(f,inf,sizeof(f)); for(int i=1;i<=n;++i) f[i][i]=0; for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) for(int k=1;k<=n;++k) f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]); ``` #$SPFA$ $SPFA$是个随机数据下比较快的算法，它的思想是每次从队列中找到一个点，松弛它所连的边，然后出队，注意这个点是可以再次被更新的，也就是可以再次入队重新松弛，不断逼近，直到最后求出最优解。所以卡$SPFA$的办法就是让$SPFA$跑到终点，然后再从起点更新，让它不停地重复跑就可以了，具体方法是构造一个网格图，将横向边边权设为很小，纵边很大即可。 $SPFA$最优复杂度为$O(KE)$，其中$K$是一个常数，但是最坏情况可以达到$O(VE)$ 众所周知，现在很多最短路题目出题人都会卡$SPFA$，用双端队列优化或者是堆优化本质都是不变的，都会被卡，所以还是用$Dijkstra$吧。 **常规的$SPFA$** ``` #include #define N 10005 #define maxn 500005 #define INF 2147483647 using namespace std; int dis[N],cnt,n,m,eu,ev,head[N],x,y,z,s; bool vis[N]; struct Edge{ int next,w,v; }e[maxn]; inline void add(int u,int v,int w){ e[++cnt].v=v; e[cnt].w=w; e[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; return; } void spfa(int s){ for(int i=1;i<=n;i++){ dis[i]=INF; vis[i]=true; } dis[s]=0; queue q; q.push(s); vis[s]=false; while(!q.empty()){ eu=q.front(); q.pop(); vis[eu]=true; for(int i=head[eu];i;i=e[i].next){ ev=e[i].v; if(dis[eu]+e[i].w'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } int main() { cin>>n>>m>>s; for(register int i=1;i<=m;i++) { cin>>x>>y>>z; add(x,y,z); } spfa(s); for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]); } ``` **比较常用的双端队列优化($SLF$优化)，大概思想是队列为空或者当前最短距离比队首小时放到队首，否则放到队尾，最好再熟悉一下$STL$** ``` #include #define N 100005 #define maxn 200005 #define INF 2147483647 using namespace std; int dis[N],cnt,n,m,eu,ev,head[N],x,y,z,s; bool vis[N]; struct Edge{ int next,w,v; }e[maxn]; inline void add(int u,int v,int w){ e[++cnt].v=v; e[cnt].w=w; e[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; return; } void spfa(int s){ for(int i=1;i<=n;i++){ dis[i]=INF; } dis[s]=0; deque q; q.push_back(s); vis[s]=1; while(!q.empty()){ eu=q.front(); q.pop_front(); vis[eu]=0; for(int i=head[eu];i;i=e[i].next){ ev=e[i].v; if(dis[eu]+e[i].w dis[q.back()]) { // int fr = q.front() ; q.pop_front() ; // int ba = q.back() ; q.pop_back() ; // q.push_front(ba), q.push_back(fr) ; // } if(q.empty()||dis[ev]'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } int main() { cin>>n>>m>>s; for(register int i=1;i<=m;i++) { x = read(), y = read(), z = read() ; add(x,y,z); } spfa(s); for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]); } ``` **$SPFA$堆优化：算是比较快的，但是不常用，这个可以过掉洛谷的单源最短路（标准版），而且比$Dijkstra$要快** ``` #include #define N 200000 + 10 #define maxn 200000 + 10 #define INF 2147483647 using namespace std; int dis[N],cnt,n,m,eu,ev,head[N],x,y,z,s; bool vis[N]; struct Edge{ int next,w,v; }e[maxn]; inline void add(int u,int v,int w){ e[++cnt].v=v; e[cnt].w=w; e[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; return; } struct cmp{ bool operator ()(int &x, int &y) { return dis[x] > dis[y]; } }; void spfa(int s) { for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF; dis[s]=0; priority_queue, cmp> q; q.push(s); vis[s]=1; while(!q.empty()){ eu=q.top(); q.pop(); vis[eu]=0; for(int i=head[eu];i;i=e[i].next){ ev=e[i].v; if(dis[eu]+e[i].wA$不是到$A$的最短路，而是通过集合外的一个点作为中间节点，即$S-->B-->A$，因为我们选择的是最近的点，所以$S-->A$一定小于$S-->B$，而且$B-->A>0$所以$S-->A$比$S-->B-->A$更优，这和假设矛盾，得证贪心成立

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#define re register
#define maxn 200010

using namespace std;

int head[maxn],vis[maxn],s,cnt,dis[maxn],n,m,a,b,c;
struct Edge{
    int v,w,nxt;
}e[maxn<<2];
inline void add(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
struct node{
    int u,d;
    bool operator <(const node&rhs) const{
        return rhs.d<d;
    }
};
void dijkstra()
{
    //memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
    dis[s]=0;
    priority_queue<node> q;
    q.push((node){s,0});
    //vis[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        node f=q.top();
        q.pop();
        int now=f.u,dd=f.d;
        if(vis[now])
         continue;
        vis[now]=1;
        for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
        {
            int ev=e[i].v;
            if(dis[ev]>dis[now]+e[i].w)
            {
                dis[ev]=dis[now]+e[i].w;
                if(!vis[ev])
                {
                    q.push(node{ev,dis[ev]});
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)dis[i] = 0x7fffffff;
    for(re int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c); 
    }
    dijkstra();
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    printf("%d ",dis[i]);
    return 0;
}

这里补一下一直困惑的结构体重组操作:

结构体重载就相当于(cmp)函数进行排序

bool operator <(const node&rhs) const{
        return rhs.d<d;

标准格式如上，上句话的意思是：一个结构体比另一个结构体小当且仅当这个结构体的(d)大于另一个结构体的(d)，(rhs)相当于别的结构体
又因为堆默认大根堆，从大到小排序，那么反过来(d)就从小到大排序了。