C++树状数组详解

引入

如果给你n个数，然后进行q次询问，每次询问一个区间[x,y]的和，你会怎么做？
第一种方法：最简单的方法，用数组存起来，每次枚举x-y，ans加起来就可以，时间复杂度O(qn)，十分慢。
第二种方法：或许大多数人会使用前缀和数组：sum[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]，所以求[x,y]只需要输出sum[y]-sum[x-1]即可，时间复杂度O(n)，这是最快的方法之一了。

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但是，如果加上一个条件：在q次询问中，有可能会临时使a[m]加上或减去一个数k（我们令这个为update(m,k)操作），也有可能会查询一个区间的和，怎么办呢？
如果还是用前缀和数组，就不方便了，因为update(m,k)需要更新sum[m]到sum[n]的值，于是时间复杂度又变为了O(qn)。
那么怎么办呢？于是有了树状数组。

树状数组

概念

树状数组，时间复杂度log级别的数据结构，且实现复杂度极小，不论是上面提到的update操作还是求前缀和。

如图，A数组是原始n个数的数组，C数组就是是树状数组（“树状”数组，是指一个普通数组，按树状存储，而不是一种STL中的数据结构）。

实现

观察一下有什么规律。

• C[1] = A[1]
• C[2] = C[1] + A[2] = A[1] + A[2]
• C[3] = A[3]
• C[4] = C[2] + C[3] +A[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4]
• C[5] = A[5]
• C[6] = C[5] + A[6] = A[5] + A[6]
• C[7] = A[7]
• C[8] = C[4] + C[6] + C[7] + A[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8]

不难发现，好像和二进制很有关系。

但是很难再想下去，事实上是这样的：
定义lowbit(x)为x二进制下末尾0的个数。
则含有C[i0]的C数组中的位置有：
i0
i1 = i0 + lowbit(i0)
i2 = i1 + lowbit(i1)
i3 = i2 + lowbit(i2)
… …
ik = ik−1 + lowbit(ik−1)
（ik≤n）
如果没法理解，写一个循环就懂了：

for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))

计算lowbit

lowbit(x)=x&-x
为什么？这里复制了一篇证明（懒得打）

首先明白一个概念，计算机中-i=（i的取反+1），也就是i的补码
而lowbit，就是求（树状数组中）一个数二进制的1的最低位，例如01100110，lowbit=00000010；再例如01100000，lowbit=00100000。
所以若一个数（先考虑四位）的二进制为abcd，那么其取反为(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)，那么其补码为(1-a)(1-b)(1-c)(2-d)。
如果d为1，什么事都没有-_-|||但我们知道如果d为0，天理不容2Σ( ° △ °|||)︴
于是就要进位。如果c也为0，那么1-b又要加1，然后又有可能是1-a……直到碰见一个为补码为0的bit，我们假设这个bit的位置为x
这个时候可以发现：是不是x之前的bit的补码都与其自身不同？，x之后的补码与其自身一样都是0？
例如01101000，反码为10010111，补码为10011000，可以看到在原来数正数第五位前，补码的进位因第五位使其不会受到影响，于是0&1=0,；
但在这个原来数“1”后，所有零的补码都会因加1而进位，导致在这个“1”后所有数都变成0，再加上0&0=0，所以他们运算结果也都是零；
只有在这个数处，0+1=1，连锁反应停止，所以这个数就被确定啦O(∩_∩)O
所以and以后只有x这个bit是一……

update操作

当要动态改变一个数时，用刚刚的循环枚举出与它相关的位置，都增加（减少）即可：

void update(int k,int x)
{
    for(int i=k;i<=n;i+=lowbit(i))
        C[i]+=x;
}

getsum操作

就是求前缀和，同样的，倒着进行刚刚的循环，累加路上的值即可：

int getsum(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))//i要大于0
        ans+=C[i];
    return ans;
}

关于代码风格

树状数组的update和getsum基本是通用的，建议不要自己改函数名，lowbit可以写函数，也可以宏定义：#define lowbit(x) (x&-x)

例题

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