（上不了p站我要死了，侵权度娘背锅）
Description
一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E
心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人
，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某
个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。
Input
输入的第一行包含一个正整数P，表示模；
第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；
以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。
Output
若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。
Sample Input
100
4 2
1
2
Sample Output
12
【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。
公式是很好想的，设sum=sigma(wi)，则答案为C(n,sum) * C(sum,w1) * C(sum-w1,w2) * … * C(wi,wi)
但是考虑到数据范围，需要用Lucas定理，但是模数确实一个合数，怎么办呢？于是就去学了拓展Lucas定理。
1、
模数为合数，但可以唯一分解成多个质数的乘积。即M=p1^c1 * p2^c2 * … * pi^ci。分解出来的pi^ci与其他的因数互质，所以可以对每一个pi^ci求出组合数的值，再用孙子定理合并。
2、
现在问题转化为了如何求解C(n,m) mod pi^ci
首先C(n,m)可以写成阶乘形式：n!/(m!*(n-m)!) mod pi^ci
我们发现如果阶乘n!中的n大于pi^ci的话，模下来就是0，没有意义了。所以不能直接用阶乘+逆元来求解。考虑如果能将n!中的所有pi提出来，即将n!分解为 x*pi^ki，这样x部分就和pi^ci完全互质，就可以用逆元来求了。
3、
问题再转化，如何将 n! 分解为 x * pi^ki，即求出x与ki
举个例子：20! mod 3^2
20!=1*2*3*4*…*19*20
将3的倍数提取出来
= 1*2*4*…* 17*19*20*(3*6*9..*18)
=1*2*4*… * 17*19*20* 3^6 * (1*2*3..*6)
发现括号里的数又是阶乘，且恰好是[n/p]（向下取整），所以递归调用即可。
对于前面的数：发现是以pi^ci为循环节同余的方程，即(1*2*…pi^ci-1)≡((pi^ci +1)*…(2*pi^ci)) (mod pi^ci)，其中要去掉pi的倍数。这一部分就暴力算出循环节，快速幂。对于循环节之外可能有的数，也是直接暴力算即可。易证循环节长度和剩余部分长度是小于等于pi^ci的。
1 void get(ll a,ll i,ll &x,ll &k){ 2 ll tmp=1; 3 if(a==0) return ; 4 for(int j=1;j<=min(pic[i],a);j++){ 5 if(j%pi[i]==0) continue; 6 tmp=tmp*j%pic[i]; 7 } 8 x=x*power(tmp,a/pic[i],pic[i])%pic[i]; 9 for(int j=pic[i]*(a/pic[i])+1;j<=a;j++){ 10 if(j%pi[i]==0) continue; 11 x=x*j%pic[i]; 12 } 13 k+=a/pi[i]; 14 get(a/pi[i],i,x,k); 15 }
所以现在问题就很清晰啦
拓展Lucas也没有想象中这么难嘛
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 #define ll long long 6 #ifdef WIN32 7 #define RIN "%I64d" 8 #else 9 #define RIN "%lld" 10 #endif 11 12 template <typename T>inline void read(T &res){ 13 T k=1,x=0;char ch=0; 14 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')k=-1;ch=getchar();} 15 while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();} 16 res=k*x; 17 } 18 19 const int N=100000+5; 20 21 ll p,n,m,w[6],sum=0; 22 ll prime[N],cntp=0; 23 bool notp[N]; 24 ll pi[N],pic[N],pik[N],cntc=0; 25 26 void init(){ 27 notp[1]=1; 28 for(int i=1;i<=100000;i++){ 29 if(!notp[i]) 30 prime[++cntp]=i; 31 for(int j=1;j<=cntp&&i*prime[j]<=100000;j++){ 32 notp[i*prime[j]]=1; 33 if(i%prime[j]==0) break; 34 } 35 } 36 } 37 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ 38 if(b==0){ 39 x=1,y=0;return; 40 } 41 ll x0,y0; 42 exgcd(b,a%b,x0,y0); 43 x=y0; 44 y=x0-(a/b)*y0; 45 } 46 ll inverse(ll a,ll mod){ 47 ll x,y; 48 exgcd(a,mod,x,y); 49 return (x%mod+mod)%mod; 50 } 51 ll power(ll a,ll b,ll mod){ 52 ll rt=1; 53 for(;b;b>>=1,a=a*a%mod) if(b&1) rt=rt*a%mod; 54 return rt; 55 } 56 void get(ll a,ll i,ll &x,ll &k){ 57 ll tmp=1; 58 if(a==0) return ; 59 for(int j=1;j<=min(pic[i],a);j++){ 60 if(j%pi[i]==0) continue; 61 tmp=tmp*j%pic[i]; 62 } 63 x=x*power(tmp,a/pic[i],pic[i])%pic[i]; 64 for(int j=pic[i]*(a/pic[i])+1;j<=a;j++){ 65 if(j%pi[i]==0) continue; 66 x=x*j%pic[i]; 67 } 68 k+=a/pi[i]; 69 get(a/pi[i],i,x,k); 70 } 71 ll get_C(ll x,ll y,ll i){ 72 ll x1=1,p1=0,x2=1,p2=0,x3=1,p3=0; 73 get(x,i,x1,p1); 74 get(y,i,x2,p2); 75 get(x-y,i,x3,p3); 76 ll rt=1; 77 rt=x1*inverse(x2,pic[i])%pic[i]*inverse(x3,pic[i])%pic[i]; 78 rt=rt*power(pi[i],p1-p2-p3,pic[i])%pic[i]; 79 return rt; 80 } 81 ll C(ll x,ll y){ 82 ll a; 83 ll rt=0; 84 for(int i=1;i<=cntc;i++){ 85 a=get_C(x,y,i); 86 rt=(rt+a*(p/pic[i])%p*inverse(p/pic[i],pic[i])%p)%p; 87 } 88 return rt; 89 } 90 void fenjie_p(){ 91 ll tmp=p; 92 for(int i=1;i<=cntp&&tmp!=1;i++){ 93 if(tmp%prime[i]!=0) continue; 94 pi[++cntc]=prime[i]; 95 pic[cntc]=1,pik[cntc]=0; 96 while(tmp%prime[i]==0){ 97 pic[cntc]*=prime[i]; 98 pik[cntc]++; 99 tmp/=prime[i]; 100 } 101 } 102 } 103 int main(){ 104 init(); 105 read(p),read(n),read(m); 106 for(int i=1;i<=m;i++) read(w[i]),sum+=w[i]; 107 if(sum>n){ 108 printf("Impossible "); 109 return 0; 110 } 111 ll ans=1; 112 fenjie_p(); 113 ans=ans*C(n,sum)%p; 114 for(int i=1;i<=m;i++){ 115 ans=ans*C(sum,w[i])%p; 116 sum-=w[i]; 117 } 118 printf(RIN" ",ans); 119 return 0; 120 }