近年来群论几乎都没在 OI 中出现过,所以看这篇文章也就图一乐...(当然考题变化无常,变化无常啊)
先说以下 Burnside 引理:
对于一个作用在目标集 \(S=\{1,2,\cdots,n\}\) 上的置换群 \(G=\{g_1,g_2,\cdots,g_m;*\}\) :
若在 \(g_i\) 作用下 \(S\) 中元素 \(k\) 不变,则称 \(k\) 为 \(g_i\) 的不动点。由群的定义可证所有使 \(k\) 不动的 \(g_i\) 与运算符 \(*\) 构成一个 \(G\) 的子群 \(G_k\) 。
若 \(S\) 中两个元素 \(i,j\) 满足 \(i\) 通过 \(G\) 的置换能变换到 \(j\),则称 \(i\) 与 \(j\) 等价。由群的定义可知等价关系具有传递性,所以我们可以将 \(S\) 根据等价关系划分为 \(p\) 个等价类,使得每类中的任二元素等价,不同类间的元素均不等价。
对 \(p\) 计数的应用较为广泛,例如求若干阶魔方 \(M\) 的状态个数时,可以先观察初始状态(例如复原情况)与基本变换(LRUDBF等)生成的目标集 \(S\),再考虑基本同构判定(旋转同构等)生成的置换群 \(G\),此时 \(S\) 的等价类个数 \(p\) 就是魔方状态个数。
而 Burnside 引理给出了等价类个数 \(p\) 的一个计数方式(更进一步的优化由 Polya 定理完成):
即等价类个数等于不动点个数之和除以置换群大小。
以下给出一个证明:
首先说明 \(G_k\) 不为空,因为 \(G\) 的单位元一定在\(G_k\) 中。
将元素 \(k\) 通过 \(G\) 的所有置换能到达的位置的集合称为 \(E_k\) 。对于 \(E_k\) 中的某一个非 \(k\) 元素 \(j\) ,存在一个置换 \(h\) 使得 \(h\) 将 \(k\) 变为 \(j\) 。
对 \(G_k\) 中任意两不同置换 \(g_1,g_2\) , \(h*g_1\) 与 \(h*g_2\) 不同,否则 \(g_1=h^{-1}*(h*g_1)=h^{-1}*(h*g_2)=g_2\) ,矛盾。由此我们构造得到 \(|G_k|\) 个将 \(k\) 变换为 \(j\) 的置换。
同时,对任一将 \(k\) 变至 \(j\) 的置换 \(h'\),由定义 \(h^{-1}*h'\) 必在 \(G_k\) 中,所以 \(h'=h*(h^{-1}*h')\) 必定是之前构造得到的置换。
于是我们得到有且仅有 \(|G_k|\) 个互不相同的置换将 \(k\) 变为 \(j\)。对 \(E_k\) 中每一个 \(j\) 都有此结论。而将 \(k\) 变换到 \(E_k\) 中任意元素的所有置换与 \(G\) 中所有置换一一对应,故 \(|G|=|E_k||G_k|\) (这被称为 轨道-稳定集引理)。
同时,我们将根据 \(E_k\) 是否相同表述出原有的 \(p\) 个等价类 \(C_1,C_2,\cdots,C_p\),就有
由此 Burnside 引理证毕。