P5774 [JSOI2016]病毒感染

题目描述

JOSI 的边陲小镇爆发了严重的 Jebola 病毒疫情，大批群众感染生命垂危。计算机科学家 JYY 采用最新的算法紧急研制出了 Jebola 疫苗，并火速前往灾区救治患者。

一共有 NN 个小镇爆发了 Jebola 疫情。这些小镇由于地处边陲，仅仅通过一条长直公路连接。方便起见我们将这些小镇按照公路连接顺序由 11 编号到 NN。JYY 会在第一天一早抵达 11 号小镇。

一开始在 ii 号小镇，有 a_iai​ 名患者感染了 Jebola 病毒。

每一天 JYY 可以选择：

1. 花费一天时间彻底治愈 JYY 目前所在的村庄的所有 Jebola 患者。这一天不会有任何患者死去；
2. 花费一天的时间前往一个相邻的村庄。

当一天开始时，如果一个村庄里有 kk 个 Jebola 患者，那么这一天结束时，这 kk 个患者会感染另外 kk 个这个村子里的健康村民并死去。所以对于 ii 号村庄，只要这个村庄没有被 JYY 彻底消灭疫情，那么每一天都会有 a_iai​ 个村民死去。

JYY 希望采用措施使得疫情被整体消灭时，总共死去的村民数量尽量少。

为了达成这一目标，JYY 有时会选择抵达一个村庄但是并不对村民进行施救。这样的行为如果不加限制，往往会造成更加严重的后果。

试想这样的情形：假设当 JYY 第一次抵达村庄 ii，未作救治并直接前往了另一个村庄。那么由于 ii 村庄的人们求生心切，一旦当 JYY 朝向靠近 ii 村庄的方向前行时，ii 村庄的村民就会以为 JYY 是来救他们了，而产生巨大的期望。之后倘若 JYY 再次掉头朝着远离 ii 村庄的方向行进，那么 ii 村庄的村民就会因为巨大的失落而产生绝望的情绪。

为了避免这种情况，JYY 对他的行程做了如下规定：

假设 JYY 进入 ii 村庄并在第二天立即离开（村庄 ii 的疫情并未治愈）。如果在之后的某一天，JYY 从村庄 jj 前往村庄 kk，并满足 |k-i| lt |k-j|∣k−i∣<∣k−j∣。那么在之后的日子里 JYY 只能朝着 ii 村庄前进直到抵达 ii 村庄并立即治愈该村的患者。在前往 ii 村庄的过程中，JYY 可以选择将途经村庄的疫情治愈。

比如，如果 JYY 有如下行程：

第一天：从村庄 11 前往村庄 22；

第二天：从村庄 22 前往村庄 33；

第三天：治愈村庄 33；

第四天：前往村庄 22。

此时 JYY 对于之后三天的行程只有唯一一种选择：

第五天：治愈村庄 22；

第六天：前往村庄 11；

第七天：治愈村庄 11。

JYY 想知道在治愈所有村庄之前，至少会有多少村民因 Jebola 死去。

输入格式

输入第一行包含一个正整数 NN；

接下来一行包含 NN 个整数，分别为 a_1,a_2,...,a_Na1​,a2​,...,aN​。

输出格式

输出一行一个整数，表示最优行程安排下会死去的村民数量。

输入输出样例

输入 #1复制

6
40 200 1 300 2 10

输出 #1复制

1950

看一下代码:(代码还未交,如有问题欢迎回复)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int n=3000+10;
ll a[n];
ll s[n];
ll f[n];//治愈前i个村庄并停到i的最少死亡的人数
        //f数组转移时枚举断点，用w数组辅助转移
ll w[n][n];//从i出发治愈[i,j]中所有村庄再回到i的最少死亡人数
           //在这里我们假设1-(i-1)已经治愈好了，i-n没有被救
           //我们从w[i+1][j]转移w[i][j](区间dp)，在计算时w[i-1][j]还没被计算
ll N;

int main(){
    scanf("%lld",&N);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        s[i]=s[i-1]+a[i];
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        w[i][i]=s[N]-s[i];
    }
    //len是枚举的长度变量，这是一个dp方法，表示这次dp的区间长度，也可不用
    for(int j=1;j<=N;j++){
        for(int i=j-1;i;--i){
            w[i][j]=w[i+1][j]+min(2*(s[N]-s[i])+s[N]-s[j],3*a[i]*(j-i)+2*(s[N]-s[j])+s[N]-s[i]);
            //第一种策略:经过i时直接治疗,我们花费两天(治疗i一天，到达i+1一天)，所以2*(s[n]-s[i]),我们要从i+1回到i,所以s[n]-s[j]
            /*第二种策略:先越过去，回来的时候再治,所以有从i+1到i一天的代价,然后救i一天,所以2*(s[n]-s[j]),s[n]-s[i]已经计算了i到i+1
            这一天代价,我们计算在这期间耽误多少天，就是j-i+j-i+j-i(过去,回来,救治),s[n]-s[i],这里是从i到j时，经过它的，为什么不乘2，
            再回来的时候i+1已经治好了,肯定治好了,第二次经过一个电时，这个点一定已经治好了*/
        }
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;//边界dp(f)为0;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=0;j<i;j++){
            f[i]=min(f[i],f[j]+(j!=0)*(s[N]-s[j])+w[j+1][i]+(i-j-1)*s[N]-s[j]);//这里i,j不要看混了
            //枚举断点，这里表示从i返回j+1,再回到i这是一次往返所以用w[j+1][i],表示j+1到i的时候并不是一次全治好
            //因为最后数组停在了j+1，需要从j+1返回到i,所以i-(j+1)
            //(j!=0)意思是j如果不是0,就为1,否则为0
        }
    }
    printf("%lld
",f[N]);
    return 0;
}

说明/提示

样例说明

我们用 C(k)C(k) 表示治愈 kk 号村庄，i ightarrow ji→j 表示从村庄 ii 前进到村庄 jj，用逗号分隔每一天的行程安排，那么样例中的最优策略为：

1 ightarrow 2 , C(2),2 ightarrow 3 , 3 ightarrow 4 , C(4) , 4 ightarrow 3 , C(3) , 3 ightarrow 2 , 2 ightarrow 1 , C(1) , 1 ightarrow 2 , 2 ightarrow 3 , 3 ightarrow 4 , 4 ightarrow 5 , 5 ightarrow 6 , C(6) , 6 ightarrow 5 , C(5)1→2,C(2),2→3,3→4,C(4),4→3,C(3),3→2,2→1,C(1),1→2,2→3,3→4,4→5,5→6,C(6),6→5,C(5);

整个过程耗时 1818 天。

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数据范围

对于 10\%10% 的数据，满足 N le 10N≤10；

对于 30\%30% 的数据，满足 N le 20N≤20；

对于 50\%50% 的数据，满足 N le 60N≤60；

对于 100\%100% 的数据，满足 1 le N le 30001≤N≤3000，1 le a_i le 10^91≤ai​≤109。