• 杂文: 日剧《轮到你了》第7集中的组合数学问题


    不务正业系列

    剧情是这样的,13个人,每人用一张纸写下了自己(如果有机会)最想杀死的那个人,然后放在一个盲盒里每人随机抽取一张。原本只是想玩个游戏,结果因为某种原因,成了真实事件——纸上的人一个接一个的被杀了。

    第七集的末尾,女主与擅长数学的邻居讨论起这个问题,她们开始计算,每个人都恰好没抽到自己的概率。

    实际上就是错排数

    剧照

    图中小姐姐的做法

    容斥,枚举 (k),钦定至少 (k) 个人没抽到自己写的,剩下的随便排,此时的方案数是 (A_{n}^{n-k}=dfrac{n!}{k!})

    由于算概率,(n!) 就除掉了,剩下一个 (k!) 在分母上。用 ((-1)^k) 容斥掉这个东西。

    为什么 (k)(2) 开始呢?因为 (1) 个人没抽到自己写的,压根不可能(但是这个式子不会在 (k=1) 时取到 (0)

    剧中是没看到计算器的,我不知道这个小姐姐怎么算出来的,这就是人脑计算机吗

    常规做法

    也是我看到这玩意的第一反应:错排数公式 (f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))),然后答案是 (f(13)/(13!))

    总结

    还是太蒻了qaq,我居然是第一次发现错排可以用容斥做

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