ZOJ 3329 One Person Game：期望dp【关于一个点成环——分离系数】

题目链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3329

题意：

　　给你面数分别为k1,k2,k3的三个骰子。

　　给定a,b,c三个整数。

　　三个骰子每扔一次，若骰子朝上的点数分别为a,b,c，则分数清零，否则当前分数+=骰子点数之和。

　　当分数 > n时游戏结束。

　　问你扔骰子次数的期望。

题意：

　　表示状态：

　　　　dp[i] = rest steps

　　　　（当前分数为i时，剩余步数的期望）

　　找出答案：

　　　　ans = dp[0]

　　　　刚开始分数为0。

　　如何转移：

　　　　由于此题中可以由高分数转移到低分数，所以转移存在环。

　　　　一般有环dp用高斯消元做。

　　　　但是，此题的所有环都跟dp[0]有关，也就是说所有的转移都能写成形如 dp[i] = a[i]*dp[0] + b[i] 的形式（分离系数）。

　　　　那么求出a[0]和b[0]就可以行了，答案为dp[0] = b[0] / (1-a[0])。

　　　　（1）dp[i] = sigma(dp[i+k]*p[k]) + dp[0]*p[0] + 1　（原转移方程，p[i]为扔出点数为i的概率,p[0]为扔出(a,b,c)的概率）

　　　　（2）dp[i] = a[i]*dp[0] + b[i]　（假设的）

　　　　将（2）代入（1）：

　　　　　　dp[i] = sigma( (a[i+k]*dp[0] + b[i+k]) * p[k] ) + dp[0]*p[0] + 1

　　　　　　dp[i] = sigma( a[i+k]*dp[0]*p[k] + b[i+k]*p[k] ) + dp[0]*p[0] + 1

　　　　　　dp[i] = ( sigma(a[i+k]*p[k]) + p[0] )*dp[0] + sigma(b[i+k]*p[k]) + 1

　　　　系数对应相等：

　　　　　　a[i] = sigma(a[i+k]*p[k]) + p[0]

　　　　　　b[i] = sigma(b[i+k]*p[k]) + 1

　　　　递推求出a[i] & b[i]即可，求的时候要保证i <= n（有意义）。

　　　　dp[0] = b[0] / (1-a[0])。

AC Code:

// state expression:
// dp[i] = rest steps
// i: present score
//
// find the answer:
// ans = dp[0]
//
// transferring:
// 1) dp[i] = sigma(dp[i+k]*p[k]) + dp[0]*p[0] + 1
// 2) dp[i] = a[i]*dp[0] + b[i]
// ***solve:
// dp[i] = sigma( (a[i+k]*dp[0] + b[i+k]) * p[k] ) + dp[0]*p[0] + 1
// dp[i] = sigma( a[i+k]*dp[0]*p[k] + b[i+k]*p[k] ) + dp[0]*p[0] + 1
// dp[i] = ( sigma(a[i+k]*p[k]) + p[0] )*dp[0] + sigma(b[i+k]*p[k]) + 1
// ***result:
// a[i] = sigma(a[i+k]*p[k]) + p[0]
// b[i] = sigma(b[i+k]*p[k]) + 1
// ***run:
// cal a[i] & b[i]
// dp[0] = b[0] / (1-a[0])
//
// boundary:
// set a,b = 0
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 505
#define MAX_K 40

using namespace std;

int n,t;
int k1,k2,k3;
int e1,e2,e3;
double p[MAX_K];
double a[MAX_N];
double b[MAX_N];
double dp[MAX_N];

void read()
{
    cin>>n>>k1>>k2>>k3>>e1>>e2>>e3;
}

void cal_pro()
{
    memset(p,0,sizeof(p));
    p[0]=1.0/(k1*k2*k3);
    for(int i=1;i<=k1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=k2;j++)
        {
            for(int k=1;k<=k3;k++)
            {
                if(i!=e1 || j!=e2 || k!=e3)
                {
                    p[i+j+k]+=p[0];
                }
            }
        }
    }
}

void cal_const()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    for(int i=n;i>=0;i--)
    {
        for(int k=1;k<=k1+k2+k3;k++)
        {
            if(i+k>n) break;
            a[i]+=a[i+k]*p[k];
            b[i]+=b[i+k]*p[k];
        }
        a[i]+=p[0];
        b[i]+=1.0;
    }
}

void solve()
{
    cal_pro();
    cal_const();
    dp[0]=b[0]/(1.0-a[0]);
}

void print()
{
    printf("%.15f
",dp[0]);
}

int main()
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        read();
        solve();
        print();
    }
}