RQNOJ 201 奥运大包围：LIS + 拼链成环

题目链接：https://www.rqnoj.cn/problem/201

题意：

　　开始时n(n<=1000)个人手拉手围成一个圈。

　　后来这些人中的一些按顺序向里面出圈形成一个新圈。从而使原圈形成一个从高到低，最低与最高连接的圈。

　　新圈重复相同的操作，直到没有人要出圈为止。

　　问最少要形成多少个这样的圈。

题解：

　　（1）拼链成环：

　　　　对于一个环，可以用两条由环拆开的链拼在一起表示。

　　　　例如：有一个环为"1,2,3,4"（1和4连在一起），则可以表示为"1,2,3,4,1,2,3"。

　　　　　　　每一次从不同位置遍历环时，只需要枚举前n个点作为起点，向后遍历n个即可。

　　（2）转化问题：

　　　　原题可以变成：求最少有几个相互不重叠的严格下降子序列，能够将最初的环完全覆盖。

　　（3）设计算法：

　　　　首先有一个定理：下降子序列的个数 = 最长非降子序列的长度

　　　　那么此题跟NOIP拦截导弹的第二问就一模一样了。

　　　　所以枚举每个起点，求一下最小的LIS（非降）就好啦。

　　　　因为n<=1000，所以求LIS要用nlogn的方法。总复杂度O(N^2*logn)。

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 2005
#define INF 10000000

using namespace std;

int n;
int ans;
int a[MAX_N];
int d[MAX_N];

void read()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        a[n+i]=a[i];
    }
}

int cal_lis(int *a)
{
    int len=1;
    d[1]=a[0];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(a[i]>=d[len])
        {
            d[++len]=a[i];
        }
        else
        {
            int lef=1;
            int rig=len;
            while(rig-lef>1)
            {
                int mid=(lef+rig)/2;
                if(a[i]>=d[mid]) lef=mid;
                else rig=mid;
            }
            int res;
            if(a[i]>=d[rig]) res=rig;
            else if(a[i]>=d[lef]) res=lef;
            else res=0;
            d[res+1]=min(d[res+1],a[i]);
        }
    }
    return len;
}

void solve()
{
    ans=INF;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        ans=min(ans,cal_lis(a+i));
    }
}

void print()
{
    cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}