动态规划方法生成最优二叉查找树

1、概念引入

　　基于统计先验知识，我们可统计出一个数表（集合）中各元素的查找概率，理解为集合各元素的出现频率。比如中文输入法字库中各词条（单字、词组等）的先验概率，针对用户习惯可以自动调整词频——所谓动态调频、高频先现原则，以减少用户翻查次数。这就是最优二叉查找树问题：查找过程中键值比较次数最少，或者说希望用最少的键值比较次数找到每个关键码（键值）。为解决这样的问题，显然需要对集合的每个元素赋予一个特殊属性——查找概率。这样我们就需要构造一颗最优二叉查找树。

 

2、问题给出

　　n个键{a1,a2,a3......an},其相应的查找概率为{p1,p2,p3......pn}。构成最优BST,表示为T₁ⁿ ，求这棵树的平均查找次数C[1, n]（耗费最低)。换言之，如何构造这棵最优BST，使得

C[1, n] 最小。

 

3、分段方法

　　 

　　　　动态规划法策略是将问题分成多个阶段，逐段推进计算，后继实例解由其直接前趋实例解计算得到。对于最优BST问题，利用减一技术和最优性原则，如果前n-1个节点构成最优BST，加入一个节点an 后要求构成规模n的最优BST。按 n-1, n-2 , ... , 2, 1 递归，问题可解。自底向上计算：C[1, 2]→C[1, 3] →... →C[1, n]。为不失一般性用

C[i, j] 表示由{a1,a2,a3......an}构成的BST的耗费。其中1≤i ≤j ≤n。这棵树表示为Tij。从中选择一个键ak作根节点，它的左子树为Tik-1，右子树为Tk+1j。要求选择的k 使得整棵树的平均查找次数C[i, j]最小。左右子树递归执行此过程。（根的生成过程）

 

 4、递推计算式

 

　　5、基本算法如下

　　

6、具体实现代码（其中所有数据都存放在2.txt中，其内容为：

其中5表示有5个节点，其他数据表示各个节点出现的概率；

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 #define max 9999
 4 void OptimalBST(int,float*,float**,int**);
 5 void OptimalBSTPrint(int,int,int**);
 6 void main()
 7 {
 8     int i,num;
 9     FILE *point;
10     //所有数据均从2.txt中获取，2.txt中第一个数据表示节点个数；从第二个数据开始表示各个节点的概率
11     point=fopen("2.txt","r");
12     if(point==NULL)
13     {
14         printf("cannot open 2.txt.\n");
15         exit(-1);
16     }
17     fscanf(point,"%d",&num);
18     printf("%d\n",num);
19     float *p=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));
20     for(i=1;i<num+1;i++)
21         fscanf(point,"%f",&p[i]);
22     //创建主表；
23     float **c=(float**)malloc(sizeof(float*)*(num+2));
24     for(i=0;i<num+2;i++)
25         c[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1));
26     //创建根表；
27     int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+2));
28     for(i=0;i<num+2;i++)
29         r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
30     //动态规划实现最优二叉查找树的期望代价求解。。
31     OptimalBST(num,p,c,r);
32     printf("该最优二叉查找树的期望代价为：%f \n",c[1][num]);
33     //给出最优二叉查找树的中序遍历结果；
34     printf("构造成的最优二叉查找树的中序遍历结果为：");
35     OptimalBSTPrint(1,4,r);
36 
37 }
38 void OptimalBST(int num,float*p,float**c,int**r)
39 {
40     int d,i,j,k,s,kmin;
41     float temp,sum;
42     for(i=1;i<num+1;i++)//主表和根表元素的初始化
43     {
44     
45         c[i][i-1]=0;
46         c[i][i]=p[i];
47         r[i][i]=i;
48     }
49     c[num+1][num]=0;
50     for(d=1;d<=num-1;d++)//加入节点序列
51     {
52         for(i=1;i<=num-d;i++)
53         {
54             j=i+d;
55             temp=max;
56             for(k=i;k<=j;k++)//找最优根
57             {
58                 if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<temp)
59                 {
60                     temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];
61                     kmin=k;
62                 }
63             }
64             r[i][j]=kmin;//记录最优根
65             sum=p[i];
66             for(s=i+1;s<=j;s++)
67                 sum+=p[s];
68             c[i][j]=temp+sum;
69         }
70     }
71 }
72 //采用递归方式实现最优根的输出，最优根都是保存在r[i][j]中的。。。
73 void OptimalBSTPrint(int first,int last,int**r)
74 {
75 
76     int k;
77     if(first<=last)
78     {
79         k=r[first][last];
80         printf("%d  ",k);
81         OptimalBSTPrint(first,k-1,r);
82         OptimalBSTPrint(k+1,last,r);
83     }
84 }

7、最终运行结果：

8、参考文献：

（1）算法导论

（2）数据结构 严蔚敏

（3）网上下载的一个ppt（算法设计与分析，第八章）

 

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