中国剩余定理&&扩展中国剩余定理

中国剩余定理：

    对于求解一元不定方程组的一种算法叫做中国剩余定理。又名孙子定理。

    其中m1,m2,m3...mk 为两两互质的整数，求x的最小非负整数解

    令M=∏mi (1<=i<=n),M是所有mi的最小公倍数；

     ti为同余方程 ti*(M/mi)≡1(mod mi)的最小非负整数解

    则有一个解 x =∑ai(M/mi)ti(1<=i<=k)

    通解为：x+i*M（i∈Z）

    特别的，最小非负整数解为(x%M+M) M  

PS:

余数的性质：

  <1>余数的和决定和的余数  ：16 + 7 = 23   （16%5=1  7%5=2  23%5=3 =》  1+2=3）；9+8=17  (9%5=4   8%5=3 17%5=2 =》(3+4)%5=2)

  <2>余数的差决定差的余数  ： 6 - 2 = 4  （6%5=1 2%5= 2 =》(1-2)%5=4 ） 

  <3>余数的积决定积的余数   ：12 * 3 = 36（12%5=2  3%5=3 =》(2*3)%5=1 ） 

  <4>余数的幂决定幂的余数：  3^2017%2=1 (3%2=1 1^2017%2 = 1)

中国剩余定理：

   <1>余同加余：余数相同，Pn=除数的公倍数加余  x%3=2  x%4=2  x=3*4*n+2(n>=1)

   <2>和同加和:  除数与余数的和相同 Pn= 除数的公倍数加和  x%5=1 x%4=2  x=20(最小公倍数)*n+6

   <3>差同减差：除数与余数的差相同，Pn=除数的公倍数剪差 x%4=3  x%5=4  x=60(最小公倍数)*n-1