算法3-------最长子序列和

 

题目：

给定一个序列（至少含有 1 个数），从该序列中寻找一个连续的子序列，使得子序列的和最大。

例如，给定序列 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，
连续子序列 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

思路1:贪心法【时间复杂度为O(n²)】

设置两个最大标记：subSum = max（ 当前值，之前的序列+当前值 ）

　　                         maxSum = max（ 当前最大和，subSum 【更新的和】）

def maxSub (A):
    if not A:
        return 0
    else:
        subSum=maxSum=A[0]for item in A[1:]:
            subSum=max(item,item+subSum)
            maxSum=max(subSum,maxSum)
        return maxSum

思路2：分治法【时间复杂度为O(nlogn)】

分：左、中、右

治：左【不处理】、右【不处理】、中【中间数往左遍历相加和取最大，中间数往右遍历相加和取最大，再加总左右两边】

并：比较左、中、右大小，取最大。

比如：nums=[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

　　一：左：【-2，1，-3，4，-1】右：【2，1，-5，4】，中间数为-1，故【中】从-1开始往左往右遍历相加和

　　二：先递归左【-2，1，-3，4，-1】，左：【-2，1，-3】，右：【4，-1】，中：-3

　　三：再递归左【-2，1，-3】，左：【-2，1】，右：【-3】，中：1

　　四：再递归左【-2，1】，左【-2】，右：【1】，中：-2        

　　　　　由于左【-2<0】,return 0，

　　　　　　　右【1>0】 return 1（右的值）。

　　　　　　　中：-2向左遍历和为-2，向右遍历（不含中-2）和为1，两者相加为-1，return -1

　　　　　　　比较左、中、右大小，最大为右，故【-2，1】return 1【右值】

　　五：(返回到第三)  左【-2，1】返回值为1

　　　　　　　　　　 右【-3】返回值为-3

　　　　　　　　　　 中：1往左遍历和最大为1，往右为-3，故两者相加为-2

　　　　　　　　　　比较左、中、右，故【-2，1，-3】return 1

　　六：（返回二）左：【-2，1，-3】return 1，右【4，-1】return 4。中【-3】，往左遍历，最大应该是-3+1=-2，往右遍历：4，return  -2+4=2。比较大小，【-2，1，-3，4，-1】return 4。

　　七：（返回一）左【-2，1，-3，4，-1】return 4，右【2，1，-5，4】return 4。中【-1】，左遍历为3，右遍历为3，return 3+3=6。比较大小（4，4，6）return 6。

def MaxSubArray(nums,l,r):
    if r-l==1:
        if nums[l]>0:
            return nums[l]
        else:
            return 0
    mid=(l+r)//2
    maxSum=0
#左
    maxLeftSum=MaxSubArray(nums,l,mid)   
#右
    maxRightSum=MaxSubArray(nums,mid,r)
#中
    MLA=0
    MRA=0
    maxMLA=0
    maxMRA=0
#中往左遍历
    i=mid
    while i>=l:
        MLA+=nums[i]
        if MLA>maxMLA:
            maxMLA=MLA
        i-=1
#中往右遍历
    j=mid+1
    while j<r:
        MRA+=nums[j]
        if MRA>maxMRA:
            maxMRA=MRA
        j+=1
#比较左中右大小
    return max(maxLeftSum,maxRightSum,maxMLA+maxMRA)