我发现 写博客真的会上瘾
刚好下周要考集图了，在博客上把知识点都梳理一遍好了。
一、集合论
1.2 命题逻辑
命题：能够判断真假的陈述句。
原子命题：不包含其他命题作为其组成部分的命题。
复合命题：5种联结词将原子命题联结起来的命题
1.3 一阶谓词逻辑
原子命题的划分：划分个体性质的原子命题
划分个体之间关系原子命题
原子命题=主语+谓语=个体+谓词
谓词：表示个体性质或彼此之间关系的词
量词：表示数量的词
全称量词&存在量词
等值式基本可以推，但有几个需要记住。
前范束式：把
和
提前。
1.4集合的概念
子集的等价：（证明中常用）
幂集：设A为一个集合，称由A的全体子集组成的集合为A的幂集，记作P（A），P（A）={X|X包含于A}
集族与指标集：
1.5 集合的运算
对称差：
广义并：集族的广义并是指其全体元素（集合）的元素组成的集合。
同理，广义交：集族的广义交就是全体元素（集合）的公共元素组成的集合，就是每个子集合的大交。
容斥原理：
1.6 集合恒等式
基本上是转换成谓词恒等式的证明题。注意包含的证法。
2.1 有序对和卡式积
有序对：{{a}，{a，b}}为元素a,b构成的有序对，记作<a,b>
卡式积：
非结合、非交换、有分配律
2.2 二元关系
n元关系：元素是有序n元组的集合。
<x,y> 属于 某二元关系f，则称x与y具有f关系
A到B的二元关系f：f包含于AXB。f是AXB的子集。
二元关系f定义域和值域的定义：存在y/x使得<x，y>属于f的x/y集合。
逆的定义；
合成的定义；
合成有结合律，对并、逆有分配律。
二元关系f在集合A上的限制：x属于集合A的且本身属于f的二元有序对的集合。
集合A在二元关系f中的象：二元关系f在集合A上的限制的值域。
二元关系是单根的定义：对于任意一个属于值域的y，在二元关系f定义中仅存在一个x，使<x.y>属于f。单值类似。
2.3关系的表示和性质
在集合A上的二元关系f的关系矩阵；关系矩阵的乘法与合成关系；可达矩阵；
集合A上的二元关系f的有向图；
二元关系的性质：
自反性：在A上的二元关系，对任意属于A的元素x，<x,x>都属于f，否则是非自反。
反自反：在A上的二元关系，对任意属于A的元素x，<x,x>都不属于f，否则是非反自反
非反自反=非自反
对称性：在A上的二元关系，对任意属于A的元素x,y，若<x,y>属于f，则<y,x>也属于f
反对称：在A上的二元关系，对任意属于A的元素x,y，若<x,y>属于f，则<y,x>不属于 f，除非x=y;
可同时具有对称性和反对称性。
传递性：在A上的二元关系，对任意属于A的元素x,y,z，若<x,y>,<y,z>属于f，那么 <x,z>也属于f。
2.4关系的幂运算和闭包
二元关系R的闭包：本身具有（自反/对称/传递）的性质的二元关系
二元关系R包含于这个二元关系
对于其他的有这些性质的（自反/对称/传递）的二元关系R‘，如果R包含于R’， 则R的闭包也包含于R‘。即R的闭包是最小的，具有这些性质（自反/对称/ 传递）且包含R的二元关系。
闭包的求法：自反闭包直接并上IA
对称闭包并上自身的逆
传递闭包并上二次可达,三次可达....直到成为传递闭包为止
证明R自反：证明IA包含于R
证明R对称：证明R的逆=R
证明R传递：证明R和R的复合包含于R
r（R）=IaU R
s(R)=R-1UR
t(R)=R U R2 U R3....
2.5等价关系和划分
等价关系：R是自反的、对称的和传递的二元关系
二元等价关系上的等价类：设R为A上的等价关系，对于任意的x属于A，在R上x（把它看成单元集 合）的象，称为x关于R的等价类。
由等价关系，等价类中元素的等价类都是一样的。
商集：等价类的集合，R是定义在A上的二元关系，R是等价的，对任意的x属于A，都对应着一个等价类，这些等价类的集合就是A关于R的商集，等于说R把A分成了许多等价类。
划分：划分是一个集族，它包含于A的幂集，就是说它的每一个元素都是A的子集。商集就是一个划 分。
还需要满足，空集不是它的元素
它的元素不相交
大并集为A
同块关系：同块关系是定义在A上的关于某划分A一个二元关系，若<x,y>属于同块关系，那么x,y必 须同属于划分A的某一个元素。同块关系是一个等价关系。
Stiring 子集数：把n元集分成K个非空子集的分法数
（n，0）=0；（n，1）=1；（n，2）=2^(n-1)-1 先放一个球，区分两个子集，然后n-1个球有2^（n-1）种放法，最后减去全部球都在一个子集里的方法。
（n，k）=k*（n-1，k）+（n-1，k-1）；放最后一个球的时候有两种情况，K个子集都有球了，所以有K种放法；只有K-1个子集有球，最后一个球占一个子集。
一个集合A上有多少种等价关系=A上有多少种划分（分成一个非空子集、两个、三个...一直到|A|个。
加细：两个划分之间的比较。
2.6序关系
偏序关系：定义在集合A上的二元关系R，若R是自反的，反对称的，传递的，则R为A上的偏序关系。
偏序集：R是A上的偏序关系，则二元有序对<A,R>为偏序集。
可比：x,y属于A，只要x,y同属于R种某一个二元有序对，则X,Y可比。
严格小于：当<x,y>属于偏序关系R，且x！=y，那么x严格小于y
覆盖：x严格小于y，且不存在一个z，使得x严格小于z，z严格小于y。
哈斯图:用顶点表示A种元素，仅当y覆盖x时，将y画在x上方并连线。
全序关系：如果一个偏序关系R，A中任意的元素x,y均可比，则R就升级为全序关系，偏序集<A,R>就升级为全序集。
拟序关系：定义在集合A上的二元关系R，若R是反自反、（反对称）、传递的，在R为A上的拟序关系。（反自反性和传递性可推出反对称性）。<A,R>为拟序关系。
拟全序关系：如果一个拟序关系R，A中任意元素x,y均可比（x！=y）或者x=y时，或者可以用三歧性来表示（<x,y><y,x>,x=y三式有且只有一个成立），此时逆序关系就升级为拟全序关系，<A,R>升级为拟全序集。
最大元最小元：B包含于A，y属于B，若y是B的最大元，那么对于任意属于B的元素x，都有<x,y>属于某偏序关系R。（他比别的都大）若y是B的最小元，那么<y,x>属于R。
极大元极小元：若y是B的极大元，对于任意属于B且<y,x>属于R的元素x，x=y，这样就放松了对y的限制，y不需要与任意x均可比了。（没有比他大的）
上界下界：y是B的上界，那么对任意x属于B，<x,y>属于偏序关系R。
最小上界最大下界：上界的最小元和下界的最大元
链：B包含于A，B如果是A中的链，任意的x,y属于B，x与y均可比；
如果B是A中的反链，任意不想等的x,y属于B，x与y均不可比；
A中最长链（长度为n)，一定存在极大元。对A来说，A存在n个划分块，使得每个划分块都是反链。
|A|=mn+1,那么A中要么存在m+1的反链，要么存在n+1的链。
良序：对全序关系或者拟全序关系，如果对于A中任意一个非空子集B，B均有最小元，那么这个全序关系或者拟全序关系就升级为良序关系。
3. 函数
函数是单值的二元关系。
偏函数：定义在AXB上的函数F，即F属于AXB，且F是单值的，则F是A到B的偏函数。
全函数：F的定义域=A；共有|B|^|A|个，对于任意一个x属于A，都有|B|种选择；
函数的性质：单射，若x1!=x1，则f（x1)!=f(x2);或者f(x1)=f(x2)可推出x1=x2；
满射，对于任意的y属于B，都能找到x属于A，使得f(x)=y
满射个数的计算：n个不同的球放到m个不同的盒子里m！(n,m)
特征函数；
自然映射：R为A上的等价关系，对于任意的x属于A，f（x）=x在A/R中的等价类
c=fog，若c是双射的，则f是满射，g是单射
4.1自然数的定义
封闭：A在F下是封闭的，等价于F（A）属于A，F的映射不超出A
Peano系统五条公设：
对于一个三元组<M,F,e>，M是集合，F是M到M的封闭函数，e是首元素，如果这个三元组是皮亚诺系统，则需要满足：
e属于M
M在F下封闭
e不属于F（A）
F是单射
极小性公理：如果有一个集合A，A包含于M，且e属于A，且A在F下封闭，那么A=M
后继：A是集合，A的后继是AU{A}
归纳集：空集属于A，对任意属于A的元素（集合），A的后继也属于A。
自然数：自然数是属于每个归纳集的集合，即空集及其一切后继
自然数集：每个归纳集的交集，仍然是归纳集
任何自然数的元素均为它的子集。
任何自然数都不是自己的元素。
4.2自然数的性质
传递集：集合的元素的元素还是集合的元素
证明传递集的办法：
A是传递集等价于P（A）是传递集
每个自然数都是传递集
自然数集N是传递集
5.1 集合的等式、有穷集和无穷集
等势：两个集合等势等价于A B间存在双射
康托定理：N与R不等势，A与P（A）不等势
有穷集：与某个自然数n等势的集合或是不能与自身真子集建立双射的集合
5.2 基数的比较和运算
有穷基数和无穷基数；
基数的类；
优势&劣势：B比A优势，存在A到B的单射
基数的比较：直接构造单射
SB定理：如果A与B互相存在单射，则A与B等势，并且基数相等
可数集（可列集）：基数小于啊列夫0；
A是无穷集，P（A）不是可数集
