CDOJ1615 Sarmutation

　　题目地址：http://acm.uestc.edu.cn/problem.php?pid=1615

　　题目分析：作者定义了一个序列Saya infinite series(简称Saries)，我们用A(n)表示。A(n)由两个正整数C和d唯一确定。而定义方法则是一个递推关系，根据n mod 4的余数决定A(k)和A(k-1)的关系：

n mod 4 == 1：A(k-1) + d --> A(k)

n mod 4 == 2：A(k-1) * d --> A(k)

n mod 4 == 3：A(k-1) - d --> A(k)

n mod 4 == 0：A(k-1) / d --> A(k) 

我们现在分析下这个序列。假定我们选定了C和d，那么可以写出这个序列如下：

C、      C+d、   （C+d）*d、     （C+d-1）*d、

C+d-1、 C+2d-1、 （C+2d-1）*d、   （C+2d-2）*d、

C+2d-2、C+3d-2、 （C+3d-2）*d、   （C+3d-3）*d、

C+3d-3、 ... ...

分析一下就会发现：

  1. A( 4*k+4 )总比A( 4*k )大d-1！（d是>=1的，我们发现子序列A(0)、A(4)、A(8)、A(12) ... ...是单调不降的，且都是正整数）

  2. A(4*k+1)、A(4*k+2)、A(4*k+3) 和A(4*k)之间的关系是不变的，for all k，（就是说如果我们从A(4*k-1)将序列截断，从A(4*k)开始的子序列也是符合定义的Saries，此时新序列的C'==C+k*d-k）；

  3. 因为d>=1，所以A(4*k+1)、A(4*k+2)、A(4*k+3) 不会比A(4*k)小！（给定这样一个序列，可以知道A(0)==C等于序列的最小值，所以我们能很快得到C值，至于d的值，见下面分析）

作者又定义了一个序列Saya Sequence(简称Saquence)，我们简称为S(n)。S(n)是A(n)中从能被4整除的n处截断的有限长序列（当然后面也要截断，不然就是无限长了）。经过上面分析2，我们不难分析出S(n)可以看做一个只在后面截断的A(n)，S(0)==A(0)。

作者又定义一个S(n)的排列为Saya Permutation(简称为Sarmutation)，我们叫做P(n)吧。题目让我们判断一个序列是否是一个P(n)。

　　解题思路：P(n)看做一个被从n之后截断的A(n)的重排列。从P(n)中找出C和d，然后重构出A(0)~A(n)，判断P(0)~P(n)是否是A(0)~A(n)的重排列（这个建议大家把P(n)和A(n)排序后匹配）。

假定P(n)已按从小到大排好序。

寻找C：见上面的分析3；

寻找d：

1. d==1，此时原来的A(n)不就成了：C、C+1、C+1、C、C、C+1、C+1、C、C、C+1、C+1、C ... ...了吗？P(n)必然如下：C、C、C、C ... ... C+1、C+1、C+1 ...... 具体判断方法见下面checkDEqualTo1（）函数；

2. d>1，此时很完美了！此时排序后的P(n)序列的第二小的元素将是C+d-1！而且C+d-1大于C（从上面我们列出的A(n)序列可以分析出来）；具体判断方法见下面代码中checkDGreaterThan1（）函数。

Ps：若是序列元素个数小于5，最好特判。

源代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int p[1005],a[1005];

bool cmp(int x,int y)
{
    if(x<y)
        return true;
    return false;
}

bool checkDEqualTo1(int C,int d,int n)
{
    int i,x,y;
    x=y=0;
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        if(p[i]==C)
            x++;
        else if(p[i]==C+1)
            y++;
        else
            return false;
    }
    if(x==y || ((x==y+1 || x==y-1) && x%2==1))
        return true;
    return false;
}

bool checkDGreaterThan1(int C,int d,int n)
{
    int i;
    a[0]=C;
    a[1]=C+d;
    for(i=2; i<n; i++)
    {
        if(i%4==1)
            a[i]=a[i-1]+d;
        else if(i%4==2)
            a[i]=a[i-1]*d;
        else if(i%4==3)
            a[i]=a[i-1]-d;
        else
            a[i]=a[i-1]/d;
    }
    sort(a,a+n,cmp);
    for(i=0; i<n; i++)
    {
        if(a[i]!=p[i])
            return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    int T,n,i,C,d,sign;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        for(i=0; i<n; i++)
            scanf("%d",&p[i]);
        sort(p,p+n,cmp);

        if(n==2)//特判1：只有两个数C，C+d...
        {
            if(p[0]>0 && p[1]>p[0])
                sign=1;
            else
                sign=0;
        }
        else if(n==3)//特判2：三个数C，C+d，(C+d)*d
        {
            if(p[0]>0 && p[1]>p[0] && p[2]%p[1]==0 && p[2]/p[1]==p[1]-p[0])
                sign=1;
            else
                sign=0;
        }
        else if(n==4)//特判3：四个数C，C+d，(C+d)*d，(C+d-1)*d
        {
            if(p[0]>0 && ((p[0]==p[1] && p[1]==p[2]-1 && p[2]==p[3])/*d==1*/
                          || (p[1]>p[0] && (d=p[1]-p[0]) && p[2]==(p[0]+d-1)*d && p[3]==(p[0]+d)*d)/*d>1*/))
                sign=1;
            else
                sign=0;
        }
        else //n>=5
        {
            if(p[0]>0 && p[1]==p[0] && (C=p[0],d=1) && checkDEqualTo1(C,d,n)==true)
                sign=1;
            else if(p[0]>0 && p[1]>p[0] && (C=p[0],d=p[1]-p[0]+1) && checkDGreaterThan1(C,d,n)==true)
                sign=1;
            else
                sign=0;
        }
        if(sign==1)
            printf("YES\n");
        else
            printf("NO\n");
    }
    return 0;
}