有限长序列的分类
基于共轭对称的分类
模运算给出了对称的一种定义
[x[n]=x_{cs}[n]+x_{ca}[n]
]
圆周共轭对称
[x_{cs}[n]=frac{1}{2}(x[n]+x^{*}[<-n>_N]), \, 0leq n leq N-1
]
圆周共轭反对称
[x_{ca}[n]=frac{1}{2}(x[n]-x^{*}[<-n>_N]), \, 0leq n leq N-1
]
例:考虑长度为(4)的有限长序列,(0leq n leq 3):
[u[n]={1+j4,-2+j3,4-j2,-5-j6}
]
则
[u^{*}[n]={1-j4,-2-j3,4+j2,-5+j6}
]
[u^{*}[<-n>_4]={1-j4,-5+j6,4+j2,-2-j3}
]
所以
[u_{cs}[n]={1,-3.5+j4.5,4,-3.5-j4.5}
]
[u_{ca}[n]={j4,1.5-j1.5,-j2,-1.5-j1.5}
]
基于几何对称的分类
对称序列:
[x[n]=x[N-1-n]
]
反对称序列
[x[n]=-x[N-1-n]
]
由于(N)可以为偶数，也可以为奇数，所以存在四种类型的几何对称的定义。
奇长度的对称序列
考虑长度为(5)的序列
[x[n]={mathop{1}limits_{uparrow}, 2, 3, 2, 1}
]
则其傅里叶变换为
[egin{aligned}
X(e^{jw})&=1+2e^{-jw}+3e^{-j2w}+2e^{-j3w}+e^{-j4w} \
&=e^{-j2w}(e^{j2w}+2e^{jw}+3+2e^{-jw}+e^{-j2w}) \
&=e^{-j2w}(3+4cosw+2cow2w) \
&=e^{-jfrac{N-1}{2}}(x[frac{N-1}{2}]+2sum_{n=1}^{frac{N-1}{2}}x[frac{N-1}{2}-n]cos(nw))
end{aligned}
]
偶长度的对称序列
考虑长度为(4)的序列
[x[n]={mathop{1}limits_{uparrow},2,2,1}
]
其傅里叶变换为
[egin{aligned}
X(e^{jw})&=1+2e^{-jw}+2e^{-j2w}+e^{-j3w} \
&=e^{-jfrac{3w}{2}}(e^{jfrac{3w}{2}}+2e^{jfrac{w}{2}}+2e^{-jfrac{w}{2}}+e^{-jfrac{3w}{2}}) \
&=je^{-jfrac{3w}{2}}(4cos(w/2)+2cos(3w/2)) \
&=je^{-jfrac{(N-1)w}{2}}(2sum_{n=1}^{frac{N}{2}}x[frac{N}{2}-n]cos((n-1/2)w))
end{aligned}
]
奇长度的反对称序列
同理可推导出
[X(e^{jw})=je^{-jfrac{N-1}{2}w}(2sum_{1}^{frac{N-1}{2}}x[frac{N-1}{2}-n]sin(nw))
]
偶长度的反对称序列
同理可推导出
[X(e^{jw})=je^{-jfrac{N-1}{2}w}(2sum_{1}^{frac{N}{2}}x[frac{N}{2}-n]sin((n-1/2)w))
]