11 圆周卷积

圆周卷积

圆周运算

其实圆周运算是针对周期序列而言的，由于周期序列在每一个周期内的取值都相同，所以我们只关注它的主值区间，比如，如果一个序列的长度为(N)的话，那么它的主值区间就是(0leq nleq N-1)。

虽然圆周运算是源自于对周期信号的处理，但是经过一般化的扩展之后，对有限长序列也可以进行圆周运算。具体就是，你可以把有限长序列以它的长度为周期，进行周期延拓成一个周期序列，然后进行运算，然后取其主值区间进行观察得到的结果。

圆周反褶

圆周反褶就是一个周期序列进行反褶之后，取其主值区间序列。因为一个周期序列反褶之后还是周期序列，所以这么做是合理的。

假设一周期信号在其主值区间的取值为$$x[n]={x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]}$$即该序列的周期为(5)，那么反褶后的信号为(只关注主值区间)

[egin{aligned} y[0]&=x[0]=x[0] \ y[1]&=x[-1]=x[5-1]=x[4] \ y[2]&=x[-2]=x[5-2]=x[3] \ y[3]&=x[-3]=x[5-3]=x[2] \ y[4]&=x[-4]=x[5-4]=x[1] end{aligned} ]

为了方便用数学的语言描述这种运算，首先看一种数学上的模运算运算，首先看几个模运算的例子：

[egin{aligned} 2 \,mod \, 5 =2 \ 6 \, mod \, 5 = 1 \ -3 \, mod \, 5 = 2 end{aligned} ]

不知道大家看出来没有，模运算其实就是求余，(2)对(5)的余数就是(2)，(6)对于(5)的余数是(1)，而(-3)对(5)的余数应该为((-3+5)\, mod\, 5=2)(加上(5)之后不影响余数的大小，因为(5)一直能整除(5)，(5)对(5)的余数一直是(0))

我们把(2 \, mod\, 5)记作(<2>_5)，所以我们定义圆周反褶为

[y[n]=x[<-n>_N] ]

其中(N)为序列(x[n])的长度。

由上面的公式可以看出，与一般的反褶不同的是，序列下标经过了一次模运算。并且经过上面的数学化的定以后，圆周运算就不仅仅只对周期信号有效了，对一般的有限长信号都是有效的。

用计算画图看一下进行圆周反褶后的效果：

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而一般的反褶又是什么样子的呢？还是通过计算机画图观察：

看到这里二者发现不仅波形不一样，并且有值区间也不一样，一般反褶的有值区间变为了(-4 leq n leq 0)，而圆周反褶的有值区间是(0 leq n leq 4)。

这个例子给出的就是有限长序列的圆周反褶运算，圆周运算是从周期序列扩展而来的，但不仅仅只针对于周期序列。事实上，后面的处理的圆周运算大部分都是有限长的序列。

圆周时移

由圆周反褶的概念，不难定义出圆周时移，即：

[y[n]=x[<n-n_0>_N] ]

与圆周反褶类似，(y[n])的有值区间还是与(x[n])相同。

我们来直观的感受一下，圆周时移到底是怎么一个效果：

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这完全可以看做是将序列进行周期延拓之后，然后进行时移，取其主值区间进行观察得到的结果。

圆周卷积

设两周期信号( ilde{x}[n], ilde{w}[n])的周期都为(N)，它们的线性卷积为

[ ilde{y}[n]=sum_{m=-infty}^{infty} ilde{x}[m] ilde{w}[n-m] ]

易知序列( ilde{y}[n])也为周期序列，其周期为(N)。

设序列( ilde{y}[n])的主值区间为(y[n]),( ilde{y}[n])的(DFS)为( ilde{Y}[k]),(y[n])的(DFT)为(Y[k]),由(DFS)与(DFT)的关系，得到(Y[k])为( ilde{Y}[k])的主值区间。

[ ilde{Y}[k]= ilde{X}[k] ilde{W}[k] ]

( ilde{X}[k])为序列( ilde{x}[n])的(DFS),( ilde{W}[k])为序列( ilde{w}[n])的(DFS),所以得到

[Y[k]=X[k]W[k], \, 0 leq k leq N-1 ]

则

[egin{aligned} y[n]&=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}Y[k]e^{jfrac{2pi kn}{N}} \ &=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}X[k]W[k]e^{jfrac{2pi kn}{N}} \ &=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}sum_{m=0}^{N-1}x[m]e^{-jfrac{2pi km}{N}}W[k]e^{jfrac{2pi kn}{N}} \ &=sum_{m=0}^{N-1}x[m](frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}W[k]e^{jfrac{2pi k(n-m)}{N}}) \ &=sum_{m=0}^{N-1}x[m]w[<n-m>_N] end{aligned} ]

所以定义有限长序列的圆周卷积为

[color{red}y[n]=sum_{m=0}^{N-1}x[m]w[<n-m>_N]=x[n] ext{ extcircled N}w[n] ]

其中序列(x[n])和序列(w[n])的长度都为(N),易知卷积后的序列(y[n])的长度也为(N)。

圆周卷积与线性卷积的关系

考虑两有限长序列(x[n]​)和(w[n]​),(x[n]​)的有值区间为(0acksim N_1-1​),即其长度为(N_1​),(w[n]​)的有值区间为(0acksim N_2-1​),其长度为(N_2​),记其线性卷积为(y[n]​),则

[y[n]=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]w[n-m]=sum_{m=0}^{N_1-1}x[m]w[n-m]​ ]

其长度为(M=N_1+N_2-1​)

为了求其圆周卷积(y_{L}[n])，将(x[n])和(w[n])补零延拓为长度为(L)的序列，其中(Lgeq max{N_1,N_2})，则

[egin{aligned} y_L[n]&=sum_{m=0}^{L-1}x[m]w[<n-m>_L], \, 0 leq n leq L-1\ &=sum_{m=0}^{L-1}x[m] ilde{w}[n-m], \, 0 leq n leq L-1 \ &=sum_{m=0}^{L-1}x[m]sum_{k=-infty}^{infty}w[n-m-kL], \, 0 leq n leq L-1 \ &=sum_{k=-infty}^{infty}sum_{m=0}^{L-1}x[m]w[n-kL-m], \, 0 leq n leq L-1 \ &=sum_{k=-infty}^{infty}y[n-kL], \, 0 leq n leq L-1 end{aligned} ]

所以L点圆周卷积是其线性卷积以周期为L进行周期延拓得到的结果。

由上图(这里不好画离散的图，用连续的表示一下，原理是一样的)知，当(L>N_1+N_2-2=M-1)时，即(Lgeq M)时，即序列补零扩展后的长度大于线性卷积后的长度时

[sum_{k=-infty}^{infty}y[n-kL] ]

未发生混叠，取其主区间即是圆周卷积(y_L[n]),取圆周卷积(y_L[n])的前(N_1+N_2-1)个点就是线性卷积(y[n])的值。

但是当(L < M)时

[sum_{k=-infty}^{infty}y[n-kL] ]

发生了混叠，如下图

由图可知，只有(M-L acksim L-1)这(2L-M)个点未发生混叠。所以如果补零扩展得到的长度(L<M)的话，那么得到圆周卷积(y_L[n])中，只有在(M-L acksim L-1)的取值与线性卷积的取值相同。

所以用圆周卷积计算有限长序列线性卷积的方法为:

1. 将序列(x[n],w[n])进行补零延拓，延拓后的长度(L)应大于等于卷积后的长度(M)
2. 将补零延拓得到的序列进行圆周卷积运算
3. 取圆周卷积的前(M)个即为线性卷积的结果