05 序列的分类

序列的分类

将序列进行分类，利用分类的特征可以简化许多信号处理算法。

基于对称性的分类

若(x[n]=x^{*}[-n])，则称序列(x[n])为共轭对称序列，如果序列(x[n])是实序列，那么称其为偶序列。明显要满足这样的条件，(x[n])的有值区间必须是对称的。

若(x[n]=-x^{*}[-n])，则称序列(x[n])为共轭反对称序列，如果(x[n])为实序列，那么称其为奇序列。同理，(x[n])的有值区间必须是对称的。

任何序列(x[n])都可以表示为共轭对称序列(x_{cs}[n])和共轭反对称部分(x_{ca}[n])之和。

[x[n]=x_{cs}[n]+x_{ca}[n] ]

其中

[x_{cs}[n]=frac{1}{2}(x[n]+x^{*}[-n])\ x_{ca}[n]=frac{1}{2}(x[n]-x^{*}[-n]) ]

容易证明(x_{cs}[n])为共轭对称序列，(x_{ca}[n])为共轭对称序列。

注意：
上面(x[n])能分解成共轭对称部分和反共轭对称部分之和的前提是(x[n])是定义在对称区间上，即(-M leq n leq M)。

例：考虑定义在(-3 leq n leq 3)上且长度为(7)的有限长序列：

[g[n]={0, 1+j4, -2+j3, mathop{4-j2}limits_{uparrow}, -5-j6, -j2, 3} ]

求其共轭对称部分(g_{cs}[n])和共轭反对称部分(g_{ca}[n])。

解：首先求得(g[n]​)的共轭部分

[g^{*}[n]={0, 1-j4, -2-j3, mathop{4+j2}limits_{uparrow}, -5+j6, j2, 3} ]

将其时间反褶得到

[g^{*}[-n]={3, j2, -5+j6, mathop{4+j2}limits_{uparrow}, -2-j3, 1-j4, 0 } ]

则共轭对称部分为

[g_{cs}[n]={1.5, 0.5 + j3, -3.5 + j4.5, mathop{4}limits_{uparrow}, -3.5-j4.5, 0.5-j3, 1.5} ]

共轭反对称部分为

[g_{ca}[n]={-1.5, \,0.5 + j, \,1.5 - j1.5, \, mathop{-j2}limits_{uparrow}, \,-1.5-j1.5, \, 0.5-j, \,1.5} ]

周期信号和非周期信号

如果序列(x[n])满足

[x[n+kN]=x[n] ]

其中(N)是正整数，(k)是任意整数。那么称序列(x[n])为周期为(N)的周期序列，一般周期序列记为( ilde{x}[n])

如果序列不是周期序列，则称序列为非周期序列。

两个周期序列相加还是周期序列，( ilde{y}[n]= ilde{x}_a[n]+ ilde{x}_b[n]),其周期为两个周期的最小公倍数(LCM(N_a,N_b))。

两个周期序列相乘还是周期序列，( ilde{y}[n]= ilde{x}_a[n] ilde{x}_b[n])其周期最大为两个周期的最小公倍数(LCM(N_a,N_b))，实际上的周期可能比这个小。

能量信号和功率信号

序列(x[n])的能量定义为：

[varepsilon_x=sum_{n=-infty}^{infty}vert x[n] vert^2 ]

非周期序列的平均功率定义为

[P_x=limlimits_{K o infty}frac{1}{2K+1}sum_{n=-K}^{K}vert x[n] vert^2 ]

定义有限区间(-K leq n leq K)的能量为

[varepsilon_{x,K}=sum_{n=-K}^{K}vert x[n] vert^2 ]

则平均功率与能量的关系为

[P_x=limlimits_{K o infty}frac{1}{2K+1}varepsilon_{x,K} ]

如果一个序列的能量有限，那么称这个序列为能量信号，如果一个序列的功率有限且不为零，那么称这个序列为功率信号。

从功率的与能量的关系可以看出，一个信号如果能量有限，那么它的功率为零，所以一个能量信号不可能是功率信号。如果一个信号为功率信号，那么它的能量必定为无穷，所以一个功率信号不可能为能量信号。

综上，一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但是存在既不是周期信号也不是能量信号的信号，比如在一个周期内能量为无穷的信号。

由于周期信号的在每个周期的能量不为零，所以周期信号的能量必定为无穷大(为无穷多个周期的能量加起来)，所以周期信号只可能是功率信号(也可能不是，如果一个周期的能量为无穷的话)。

定义周期信号的平均功率为

[P_x=frac{1}{N}sum_{n=0}^{N-1}vert ilde{x}[n] vert^2 ]

这个表达式的意义为周期信号的功率为其在一个周期内的功率，显然这样的定义是合理的。

能量信号示例

无限长序列(x[n])定义如下

[x[n]= egin{cases} frac{1}{n}, quad n geq 1 \ 0, quad n leq 0 end{cases} ]

则其能量为

[sum_{n=1}^{infty}(frac{1}{n})^2=frac{pi^2}{6}<infty ]

所以该信号为能量信号。

功率信号示例

已知序列

[x[n]= egin{cases} 3(-1)^n, quad n geq 0 \ 0, quad n <0 end{cases} ]

由能量的定义式

[varepsilon_x=sum_{n=-infty}^{infty}vert x[n] vert^2=sum_{n=0}^{infty}9=infty ]

所以该信号不是能量信号。

由平均功率的定义式

[P_x=limlimits_{K o infty}frac{1}{2K+1}sum_{n=0}^K9=limlimits_{K o infty}frac{9(K+1)}{2K+1}=4.5 ]

所以该信号为功率信号。

其他分类

若序列(x[n])的每一个样本值都小于一个有限的正数，那么称(x[n])是有界的，即

[vert x[n] vert leq B_x < infty ]

若序列(x[n])满足

[sum_{n=-infty}^{infty}vert x[n] vert <infty ]

那么称序列绝对可和。

若序列(x[n])满足

[sum_{n=-infty}^{infty}vert x[n] vert^2 <infty ]

那么称序列平方可和。其实上面的表达式就是一个信号能量的表达式，所以说，如果一个信号平方可和，那么这个信号就是能量信号。