序列的运算
基本运算
调制
两个序列样本值的乘积，指的是将两个序列的样本值逐点对应相乘，从而得到新的序列：
在一些应用中，序列的乘积也叫做调制，实现该运算的器件称为调制器。
相乘
一个序列的每个样本值都乘以标量A以产生新的序列
实现相乘运算的器件称为乘法器。
相加
把两个序列的样本值逐点的相加得到新的序列
实现该运算的器件称为加法器。
时移
时移运算表现为
若(N>0)，则称之为延迟运算，若(N<0)则称之为超前运算。
单位延迟为延迟一个单位，即
在(Z)变换中，延迟一个单位相当于乘以(z^{-1})，所以在方框图用(z^{-1})表示延迟一个单位
同理，单位超前一个单位可以写为
在(Z)变换中，超前一个单位相当于乘以(z)，所以在方框图用(z)表示超前一个单位
反褶
序列的反褶表现为
下面给出一些序列运算的例子，我将以图形的形式给出
调制
相加
单位延迟
单位超前
反褶
大多数的应用都是采用上述基本运算的组合。
卷积
(x[n])和(h[n])为两个序列，这两个序列通过卷积后产生新的序列是
至于为什么会有卷积和这种运算，在离散时间系统那里详细介绍过，卷积和可以说是信号与系统分析中最重要的运算之一。
观察卷积的表达式，发现卷积也是由基本运算组成的：首先对(h[m])进行反褶得到(h[-m])，然后进行时移运算，由(h[-m])得到(h[-(m-n)]=h[n-m])，然后进行调制运算(x[m]h[n-m])，最后进行相加运算得到(y[n]=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]h[n-m])，所以一个卷积运算是由反褶，时移，调制，相加等基本运算组成的。
其实在实际的计算，计算过程就是由我上面所说的过程组成，从这里就可以看到，其实做卷积运算是比较麻烦的，在学习变换域时，有更好的办法进行卷积运算。
卷积和一般也写成
我们对上面的式子做一个变换，令(m=n-k)，则：
所以卷积满足交换律。
不做卷积得到某一项的值
如何快速展开得到卷积某一项的值，比如想得到(y[2])的值。
假设(x[n],w[n])的起点都是(0)，那么可以快速写出$$y[2]=x[0]w[2]+x[1]w[1]+x[2]w[0]$$
观察表达式可以得到(x)的下标和(w)的下标加起来等于(2)，所以想快速得到卷积后某一项的值可以快速的写出来，只要(x)的下标加上(w)的下标等于(n)。
那么(y[3])可以写为
这里假设(x)和(w)都是从(0)开始的,并且(x)和(w)都能取到(x[3])和(w[3])。
当然对于不是从(0)开始的也成立，假设(x)是从(-1)开始的，(w)是从(0)开始的，那么
上述表达式成立前提是(x)有(x[2])和(w)有(w[3])。
有限长序列卷积
卷积后的长度
假设序列(x[n])的有值区间为(N_1leq n leq N_2)，长度为(N=N_2-N_1+1)，(w[n])的有值区间为(N_3 leq n leq N_4)，长度为(W=N_4-N_3+1)，(y[n]=x[n]*w[n])，那么(y[n])的长度是多少，有值区间又是多少？
从卷积的表示式得到
所以
得到
所以(y[n])的长度为
有值区间为
所以得到的结论是，两有限长序列的卷积，卷积后序列长度为两序列长度相加再减一，卷积序列有值区间的起点为两序列的起点相加，终点为两序列的终点相加。
在这里给出一个卷积和计算的例子(用计算机实现的)
卷积和(y[n]=x[n]*w[n])
观察到卷积后序列的有值区间的起点为序列起点的相加(-2+1=-1)，终点为两序列终点的相加(3+4=7)
用多项式乘法快速计算卷积
该方法在有的书上也叫作列表法，不过我觉得叫什么无所谓，能掌握怎么计算的就可以
我们就用上图中的例子为例：
我们先用定义法计算，首先我们可以得到(y[n])的有值区间为([-1,7])，然后利用介绍的快速展开计算每一项的值：
得到的结果应该与上图中的(y[n])是相同的，但是说实话，做完这一遍我再也不想做第二遍，在这里介绍第二种快速计算的方法，这种方法手算比前面的快很多倍，只要会乘法就可以。
还是以以上的(x[n])和(w[n])为例，将(x[n])和(w[n])列出来，如下所示
按照多项式乘法的规则即可，不过与多项式乘法不同的是，不用逢十进位，通过这个方法得到的序列是
与上面用定义计算得到的结果是一样的，但是我这里没有标出(0)的位置，如何快速得出(y[0])的位置呢(虽然我们知道(y[n])的起始位置是(-1)，可以推出(0)的位置)，那就是用小数乘法，将0位置后面标出小数点，比如序列(x[n])在(x[0]=6)的后面标一个小数点，w可以在前面补0，所以可以写成
所以(15)就是(y[0])的位置。
至于多项式乘法为什么可以计算卷积，感兴趣的可以自己去查阅资料，毕竟这不是重点，重点是大家掌握这种方法就可以。
其实卷积还有很多有意思的性质，大家可以在习题中多多体会，这里贴出我写的配套习题。这个习题是我参考教材
数字信号处理----基于计算机的方法
抽样率转换
从一个序列生成抽样率高于或低于它的序列叫做抽样率转换。
假设(x[n])是以频率(F_THz)抽样得到的序列，由(x[n])得到的(y[n])的序列抽样频率为(F^{'}_THz)，定义抽样率转换比
如果(R>1)，也就是说(F^{'}_T > F_T)，得到的抽样频率变大了，由(x[n])得到抽样频率更大的(y[n])的运算叫做内插，实现该运算的叫做内插器。反之如果得到的抽样频率更小，那么该运算叫做抽取，相应实现该运算的叫做抽取器。
那么为什么叫做内插和抽取呢？到底内插和抽取是怎么样的一个过程。
假设序列(x[n])是以频率(F_T)对信号进行抽样，而另一个信号(y[n])的抽样频率(F^{'}_T)是(x[n])的两倍，那么这就意味着(y[n])的样本值的个数是(x[n])的两倍，所以从(x[n])得到(y[n])就得"插入"多余的那些样本值，一般插入的都是0。假设(F_T^{'}=2F_T)，那么(x[n])就得每隔一点插入一个0。
我以一个例子来说明内插是一个什么样的过程，假设(F_T^{'}=2F_T)
一般的如果(F^{'}_T=LF_T,L>1)，那么(y[n])与(x[n])之间的关系为
相反，如果得到序列的抽样频率更低的话，也就是说(x[n])的样本值个数更多，就得减少(x[n])的个数，具体的做法就是抽取，如果(F_T=2F^{'}_T)的话，那么就每隔一个抽取一个样本值。
同样以一个例子演示抽取的过程：
一般的如果(F_T=MF_T^{'},M>1)，那么(y[n])与(x[n])之间的关系为
