[BZOJ3000]Big Number

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BZOJ3000.

好题？秒出想法然后被各种卡精度

• 前置芝士：Stirling公式

在(n)较大时，有近似公式：

[n!sim sqrt{2npi}(frac ne)^n ]

首先，显然有答案位数(=leftlfloor log_kn! ight floor+1)

(=leftlfloor log_k(sqrt{2npi}(frac ne)^n) ight floor+1)

(=leftlfloor log_ksqrt{2npi}+nlog_kfrac ne ight floor+1)

(pi=acos(-1),e=exp(1),log_k)可以使用(log_2)配合换底公式实现。

但是要注意，(n)较小时Stirling公式的相对误差较大，需要使用(leftlfloor log_kn! ight floor+1=leftlfloor sum_{i=1}^nlog_ki ight floor+1)暴力计算。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#define Log(a,b) (log(b)/log(a))

int n,k;
const double Pi=acos(-1),e=exp(1);

int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&k))
		if(n<=10000)
		{
			double Sum=0;
			for(int i=2;i<=n;++i)Sum+=Log(k,i);
			printf("%.f
",floor(Sum+1e-8)+1);//eps防止精度误差
		}
		else printf("%.f
",floor(Log(k,sqrt(2.0*n*Pi))+n*Log(k,n/e)+1e-8)+1);//公式计算
	return 0;
}