2021 年百度之星·程序设计大赛

久违一更，距离上次更新已经半年了。

这次题目竟然不是按照难度排序

A. 迷失 (Hdu 6996)

题目大意

给定一张无向图，边的边权为(0)或(1)，在图上随机游走，问从1号点经过k条边到达n号点，经过的边的异或和为1的概率。

解题思路

第一眼，图上随机游走，循环概率，点数不超过100，高斯消元，不想写，跳了。

做完后面的回来看第二眼，哦，恰好经过k条边，设(dp[i][j][k])表示当前第(i)号点，当前边权异或和为(k)，经过(j)条边到达(n)号点且边权异或和为(1)的概率。

忽然看到(k leq 10^6)，空间爆了。注意到(dp[i][j][k])总是从(dp[?][j-1][?])转移过来的，于是可以用循环队列压成两维，即(dp[cur][i][k])表示当前状态((j))，(dp[cur^1][i][k])表示上一个状态((j - 1))，空间问题解决了，但时间复杂度(O(mk))即(O(n^2k))还是爆了时间。

忽然发现给定一张图，转移方程式是确定且线性的，矩阵快速幂优化就可以了。时间复杂度为(O(n^3log k))。

具体而言，矩阵规模是(200 imes 200)，根据转移方程式(dp[i][j][k] = frac{1}{du[i]}sumlimits_{v in (i, v)}dp[v][j-1][k oplus cost[(i,v)])构造即可。

下面代码中是根据方程式两边乘以了(du[i])构造的。(du[i])表示(i)号点的度。

结果卡常，中途运算从(long long)改成(int)，矩阵乘法减少不必要的取模才过了。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;

template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}

template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}

const int MO = 998244353;
const int N = 1e2 + 8;
const int M = 2e4 + 8;

int head[N], nxt[M], ty[M], cnt[N], to[M];

int inv[N];

int n, m, k, num;

inline int qpow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) {
            ans = 1ll * ans * a % MO;
        }
        a = 1ll * a * a % MO;
        b = b >> 1;
    }
    return ans;
}

struct matrix {
    int n, m;
    int data[N * 2][N * 2];
    inline void clear() {
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            for (int j = 0; j <= m; j++) data[i][j] = 0;
    }
}ff, eye;

inline matrix operator *(matrix a, matrix b) {
    matrix qwq;
    qwq.n = a.n;
    qwq.m = b.m;
    qwq.clear();
    LL tmp = 0;
    for (int i = 1; i <= a.n; i++)
        for (int j = 1; j <= b.m; j++){
            tmp = qwq.data[i][j];
            for (int k = 1; k <= a.m; k++){
                tmp += ((1ll * a.data[i][k] * b.data[k][j]));
                if (k % 15 == 0)
                    tmp %= MO;
            }
            if (tmp >= MO)
                tmp %= MO;
            qwq.data[i][j] = tmp;
        }
    return qwq;
}

inline void add(int u, int v, int w){
    num ++;
    nxt[num] = head[u];
    to[num] = v;
    ty[num] = w;
    head[u] = num;
    num ++;
    nxt[num] = head[v];
    to[num] = u;
    ty[num] = w;
    head[v] = num;
    cnt[u] ++;
    cnt[v] ++;
}


int main(void) {
    for(int i = 1; i <= 105; ++ i)
        inv[i] = qpow(i, MO - 2);
    int kase; read(kase);
    for (int ii = 1; ii <= kase; ii++) {
        read(n);
        read(m);
        read(k);
        num = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++ i){
            head[i] = 0;
            cnt[i] = 0;
        }
        for(int u, v, w, i = 1; i <= m; ++ i){
            read(u);
            read(v);
            read(w);
            add(u, v, w);
        }
        ff.n = ff.m = 2 * n;
        ff.clear();
        for(int i = 1; i <= n; ++ i)
            for(int j = head[i]; j; j = nxt[j]){
                int v = to[j];
                int kin = ty[j];
                for(int s = 0; s <= 1; ++ s){
                    int yuan = i;
                    if (s)
                        yuan += n;
                    int nxt = v;
                    if (s ^ kin)
                        nxt += n;
                    ff.data[yuan][nxt] = inv[cnt[v]];
                }
            }
        eye.n = eye.m = 2 * n;
        eye.clear();
        for(int i = 1; i <= 2 * n; ++ i)
            eye.data[i][i] = 1;
        while(k){
            if (k & 1)
                eye = eye * ff;
            ff = ff * ff;
            k >>= 1;
        }
        int ans = eye.data[1][n + n] * 1ll * cnt[n] % MO * inv[cnt[1]] % MO;
        write(ans, '
');
    }
    return 0;
}

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B. 愿望幽灵 (Hdu 6997)

题目大意

咕咕咕

解题思路

神奇的代码

咕咕咕

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C. 鸽子 (Hdu 6998)

题目大意

(n)台电脑，第(k)台坏了。(m)次操作，每次操作交换第(u_i)和第(v_i)台电脑，你可以跳过若干次操作。

问对于每个(j in [1,n])，最终坏的电脑的位置是第(j)台的最小跳过次数是多少。无法实现输出-1。

解题思路

设(dp[i][j])表示前(i)次操作后，坏的电脑是第(j)台的最小跳过次数。容易发现每次操作只会更改两个(dp)值，即(dp[i])和(dp[i-1])只有(dp[i][u_i])和(dp[i][v_i])会发生变化，所以复用(dp)数组转移其实是(O(1))的，总时间复杂度为(O(n))。

具体而言，转移时考虑是否跳过本次操作，于是(dp[u_i] = min(dp[v_i], dp[u_i] + 1))，(dp[v_i] = min(dp[u_i], dp[v_i] + 1))，注意等式右边的(dp)值是原来的(dp)值，不是本次更新后的(dp)值。注意无法实现的情况。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}

template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}

const int N = 1e5 + 8;

int n, m, k;

int dp[N];

int main(void) {
    int kase; read(kase);
    for (int ii = 1; ii <= kase; ii++) {
        read(n);
        read(m);
        read(k);
        for(int i = 1; i <= n; ++ i)
            dp[i] = -1;
        dp[k] = 0;
        for(int u, v, i = 1; i <= m; ++ i){
            read(u);
            read(v);
            int su = dp[u];
            int sv = dp[v];
            if (su == -1 && sv == -1)
                continue;
            if (sv == -1){
                dp[u] = su + 1;
                dp[v] = su;
            }
            else if (su == -1){
                dp[v] = sv + 1;
                dp[u] = sv;
            }
            else{
                dp[u] = min(su + 1, sv);
                dp[v] = min(sv + 1, su);
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++ i)
            printf("%d%c", dp[i], i == n ? '
' : ' ');
    }
    return 0;
}

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D. 萌新 (Hdu 6999)

题目大意

给定两个正整数(a,b)，求最小和最大的(c)满足(a mod c = b mod c)，且(2 le c le max(a,b))。

不存在则输出(-1)。

解题思路

假设(ageq b)，题意即为(aequiv b mod c)即((a-b) equiv 0 mod c)即(c|(a-b))，所以最小(c)即为((a-b))的最小质因数，最大(c)即为((a-b))。

(a-b=1)时(c)无解$。

(a=b)时特判(a=1)时无解，否则最小(c)为(2)，最大(c)为(a)。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}

template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}

int main(void) {
    int kase; read(kase);
    for (int ii = 1; ii <= kase; ii++) {
        int a, b;
        read(a);
        read(b);
        int dis = max({a,b}) - min({a, b});
        if (dis == 1){
            puts("-1 -1");
        }else if (dis == 0){
            if (a == 1){
                puts("-1 -1");
            }
            else
                printf("2 %d
", a);
        }else{
            int ans = 2;
            int up = sqrt(dis);
            while(dis % ans != 0 && ans <= up)
                ++ ans;
            if (dis % ans != 0)
                ans = dis;
            printf("%d %d
", ans, dis);
        }
    }
    return 0;
}

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E. 二分 (Hdu 7000)

题目大意

有(n)个格子，你现在在第(x)个格子，想跳到第(y)个格子。

每次，如果你当前的格子编号小于(y)，你会等概率跳到比当前编号更大的一个格子中，反之则等概率跳到比当前编号更小的一个格子中。

求期望跳的次数。

解题思路

看上去挺有趣的题，结果被A卡常卡得莫得时间思考，咕咕咕。

神奇的代码

咕咕咕

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F. 毒瘤数据结构题 (Hdu 7001)

题目大意

一个长为(n)，初始全为(0)的序列，有(n)次操作，每次可以：

• (1 x) 表示把(x)位置修改为(1)。

• (2 x) 表示查询，如果将(x)位置修改为(1)，求最大的(i)满足序列位置(1)到(i-1)上的值均为(1)。注意只是如果，实际并不做修改。

解题思路

上来先写的题

其实这并不毒瘤呀，用并查集维护连通性就可以了。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}

template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}

const int N = 5e6 + 8;

int f[N], n;

int findfa(int x){
    return f[x] == x ? x : f[x] = findfa(f[x]);
}

int main(void) {
    read(n);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        int x, y;
        read(x);
        read(y);
        if (x == 1){
            if (f[y] == 0){
                f[y] = y;
                int nxt = findfa(y + 1);
                if (nxt != 0)
                    f[y] = nxt;
                int la = findfa(y - 1);
                if (la != 0)
                    f[la] = f[y];
            }
        }else{
            int ans = findfa(1);
            if (ans == y - 1)
                ++ ans;
            int nxt = findfa(y + 1);
            if (nxt != 0 && ans >= y)
                ans = nxt;
            ++ ans;
            write(ans, '
');
        }
    }    
    return 0;
}

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G. 流年烹茶 (Hdu 7002)

题目大意

咕咕咕

解题思路

咕咕咕

神奇的代码

咕咕咕

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H. 猎人杀 (Hdu 7003)

题目大意

(n)个人，其中一个是狼人，其余是猎人。

每个人都会有一个想干掉的人的编号列表，是一个(1-n)的全排列。

首先狼人干掉自己编号列表的第一人，记为(target)。

随后，(target)会干掉自己列表中，从左到右第一个活着的人，这人会成为新的(target)，重复此步骤。

如果期间狼人被干掉了，则猎人胜利。

若某一个猎人被干掉后，场上除了狼人还有另一个猎人活着，则狼人胜利。

给定一个局面，问你最终谁胜。

解题思路

就是个模拟题，不过题意写得晦涩难懂。一开始在疑惑就一晚狼人干掉人吗？不过注意到每个人想干掉的列表是个全排列，那么白天就一定会游戏结束了，狼人不会再干掉第二个人。

看样例时看到有狼人自刀的情况出现，嗯？？？

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <exception>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;

template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}

template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}

const int N = 55;

bool dead[N];

int cur[N];

int fav[N][N];

int n, lang;

int main(void) {
    int kase; read(kase);
    for (int ii = 1; ii <= kase; ii++) {
        read(n);
        for(int i = 1; i <= n; ++ i){
            int a;
            read(a);
            if (a == 1)
                lang = i;
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++ i)
            for(int j = 1; j <= n; ++ j){
                read(fav[i][j]);
            }
        for(int i = 1; i <= n; ++ i){
            dead[i] = false;
            cur[i] = 1;
        }
        int cnt = n;
        int tar = fav[lang][1];
        dead[tar] = true;
        -- cnt;
        while(cnt > 2 && !dead[lang]){
            while(dead[fav[tar][cur[tar]]])
                ++ cur[tar];
            tar = fav[tar][cur[tar]];
            dead[tar] = true;
            -- cnt;
        }
        if (dead[lang])
            puts("lieren");
        else 
            puts("langren");
    }
    return 0;
}

---