这一次，我们来了解普通Trie树的变种：0-1Trie以及在其基础上产生的可持久化Trie（其实，普通的Trie也可以可持久化，只是不太常见）
先简单介绍一下0-1Trie：一个0-1Trie节点只有两个子节点，分别代表0和1；从根节点开始，第一层代表限制的最高位，依次往下直到最底层，代表二进制第0位。
0-1Trie上的一条链所表示的数字，就是Trie树中的一个数字。0-1Trie除了节点和插入方式与普通的Trie树略有不同之外，其他操作都是和Trie树完全一样的。在维护这个节点插入过的数的个数size之后，0-1Trie甚至可以做一些平衡树的题……
下面给2道比较简单的例题：
bzoj3689 异或之 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3689
bzoj3224 普通平衡树 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224
值得注意的是，0-1Trie无法处理负权值，因此，我们可以给每个数加上一个大的修正值delta，使得所有值都成为非负的。最后我们在减去delta即可。
下面给出0-1Trie版的普通平衡树代码，很短，但是的确可以AC：
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 using namespace std; 4 typedef long long LL; 5 const int inf=0x7fffffff,delta=10000100; 6 LL bin[50]; 7 struct Trie 8 { 9 Trie *ch[2];int size; 10 Trie(){size=0;ch[1]=ch[0]=NULL;} 11 }*null=new Trie(),*root; 12 inline Trie* newTrie(){Trie *o=new Trie();o->ch[0]=o->ch[1]=null;return o;} 13 inline void insert(int x) 14 { 15 Trie *rt=root; 16 for(int i=30;~i;i--) 17 { 18 int d=(x&bin[i])>>i; 19 if(rt->ch[d]==null)rt->ch[d]=newTrie(); 20 rt=rt->ch[d],rt->size++; 21 } 22 } 23 inline void del(int x) 24 { 25 Trie *rt=root; 26 for(int i=30;~i;i--) 27 rt=rt->ch[(x&bin[i])>>i],rt->size--; 28 } 29 inline int getrank(int x) 30 { 31 Trie *rt=root;int ret=0; 32 for(int i=30;~i;i--) 33 { 34 if((x&bin[i])>>i)ret+=rt->ch[0]->size; 35 rt=rt->ch[(x&bin[i])>>i]; 36 } 37 return ret; 38 } 39 inline int getval(int rank) 40 { 41 Trie *rt=root;int ret=0; 42 for(int i=30;~i;i--) 43 { 44 if(rt->ch[0]->size>=rank)rt=rt->ch[0]; 45 else rank-=rt->ch[0]->size,ret|=bin[i],rt=rt->ch[1]; 46 } 47 return ret; 48 } 49 int main() 50 { 51 bin[0]=1;for(int i=1;i<=40;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1; 52 root=newTrie();null->ch[0]=null->ch[1]=null; 53 int m,opt,x;scanf("%d",&m); 54 while(m--) 55 { 56 scanf("%d%d",&opt,&x); 57 switch(opt) 58 { 59 case 1:insert(x+delta);break; 60 case 2:del(x+delta);break; 61 case 3:printf("%d ",getrank(x+delta)+1);break; 62 case 4:printf("%d ",getval(x)-delta);break; 63 case 5:printf("%d ",getval(getrank(x+delta))-delta);break; 64 case 6:printf("%d ",getval(getrank(x+delta+1)+1)-delta);break; 65 } 66 } 67 }
接下来，我们在0-1Trie的基础上，介绍可持久化Trie。
可持久化Trie树和前面两种可持久化数据结构一样，也是通过复制节点来实现可持久化操作。
在插入的时候，我们也是复制路径上的节点，由于可持久化Trie和主席树一样具有区间可减性，所以我们直接像主席树那样区间相减即可。
具体代码，长得和之前的可持久化Treap差不多……下面给出插入的代码（可能比较丑……）
1 //bin[i]数组为预处理的2的i次方 2 void insert(Trie *&o,Trie *old,int val,int i) 3 { 4 if(i<0)return; 5 int d=((val&bin[i])==bin[i]);//判断当前为是0还是1 6 o->ch[d]=newTrie();o->ch[d^1]=old->ch[d^1]; 7 o->ch[d]->size=old->ch[d]->size+1; 8 insert(o->ch[d],old->ch[d],val,i-1); 9 }
可持久化Trie树经常用来处理与异或有关的k小问题。一般来说，我们都是把0-1Trie可持久化来维护数字运算，很少有把字符串的Trie可持久化的题目。
这里再给出两道可持久化Trie的基础题：
bzoj4103[Thu Summer Camp 2015]异或运算 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4103
我的题解：http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7281945.html
bzoj3166[Heoi2013]Alo http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3166
我的题解：http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/7281860.html
可持久化Trie是一种和主席树同样优秀的数据结构，无疑是一种新的解题思路。希望大家能从我的博客中有所收获:)