[BZOJ4870][Shoi2017]组合数问题 dp+矩阵乘

4870: [Shoi2017]组合数问题

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Description

Input

第一行有四个整数 n, p, k, r，所有整数含义见问题描述。

1 ≤ n ≤ 10^9, 0 ≤ r < k ≤ 50, 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1

Output

一行一个整数代表答案。

Sample Input

2 10007 2 0

Sample Output

8

 

题解：

今年的省选题……

题目的要求很简单，就是求满足要求的组合数在膜（？）意义下的和，但这其实是一道假的数学题。

不难发现，对于符合要求的C(n*k)^x中的x都有x%k==r

我们考虑组合数最原始的应用：在一堆物品里选一些物品出来，那么题目的含义就是在n*k个物品中选x个物品，使x%k=r，求方案数

这不就是个背包吗？

那么我们设dp数组f[i][j]为前i个物品选出一些物品，使得物品的个数x%k==j

那么不难写出转移方程：f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][(j-1+k)%k]（前者表示不选第i个，后者表示选）

这显然是一个线性的递推式，因此我们考虑矩阵乘优化

设矩阵A中A[i][j]表示从%k=i转移到%k=j的方案数

那么我们的目标就是pow(A，n)之后的A[0][r];

初始化的时候，把所有的A[j][j]++,所有A[(j-1+k)%k][j]++（类比上面的转移方程）

然后再来一个单位矩阵一乘就好了。代码见下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=60;
LL n,p,k,r;
struct marx
{
    LL m[N][N];
    inline void print()
    {
        for(int i=0;i<k;i++)
        {
            for(int j=0;j<k;j++)
                printf("%lld ",m[i][j]);
            printf("
");
        }
        printf("
");
    }
    inline void clear(){memset(m,0,sizeof(m));}
    marx operator * (const marx &b) const
    {
        marx c;c.clear();
        for(int i=0;i<k;i++)
            for(int j=0;j<k;j++)
                for(int u=0;u<k;u++)
                    c.m[i][j]=(c.m[i][j]+m[i][u]*b.m[u][j])%p;
        return c;
    }
}A,B,C;
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&p,&k,&r);
    A.clear(),B.clear(),C.clear();
    C.m[0][0]=1;
    for(int j=0;j<k;j++)
        B.m[j][j]=1,A.m[(j-1+k)%k][j]++,A.m[j][j]++;
    LL tmp=n*k;
    while(tmp)
    {
        if(tmp&1)B=B*A;
        tmp>>=1;A=A*A;
    }
    C=C*B;
    printf("%lld
",C.m[0][r]);
}