权值线段树 基础入门知识详解

权值线段树

• 学习权值线段树，首先要了解线段树是什么。如果不会的可以先学习一下。

是什么

• 权值线段树，顾名思义是一棵线段树。
• 但它和普通线段树不同：
• 线段树，每个节点用来维护一段区间的最大值或总和等。
• 权值线段树，相当于一个桶，每个节点用来表示一个区间的数出现的次数。

为什么要用它

• 我们可以用它来维护一段区间的数出现的次数，从它的定义上来看，它可以快速计算一段区间的数的出现次数。
• 此外，它还有一个重要功能，在于它可以快速找到第$k$大或第$k$小值，下面会做详细解释。
  其实，它就是一个桶，桶能做到的它都可以用更快的速度去完成。

基本操作

添加

• 和普通线段树类似，递归到叶子节点时给$f[v]+1$。
• 以下代码要添加的数是$x$，也就是$x$出现的次数$+1$。

	void add(int l,int r,int v,int x)
	{
		if(l==r) f[v]++;
		else
		{
			int mid=(l+r)/2;
			if(x<=mid) add(l,mid,v*2,x); else add(mid+1,r,v*2+1,x);
			f[v]=f[v*2]+f[v*2+1];
		{
	}

查询一个数出现的次数

• 如添加操作，递归到叶子节点时$f[v]$的值即为所求次数。
• 以下代码要查询的数是$x$。

	int find(int l,int r,int v,int x)
	{
		if(l==r) return f[v];
		else
		{
			int mid=(l+r)/2;
			if(x<=mid) return find(l,mid,v*2,x); else return find(mid+1,r,v*2+1,x);
		}
	}

查询一段区间的数出现的次数

• 与线段树查询同理，不断递归二分。
• 以下代码要查询的区间是$[x,y]$。

	int find(int l,int r,int v,int x,int y)
	{
		if(l==x&&r==y) return f[v];
		else
		{
			int mid=(l+r)/2;
			if(y<=mid) return find(l,mid,v*2,x,y);
			else if(x>mid) return find(mid+1,r,v*2+1,x,y);
			else return find(l,mid,v*2,x,mid)+find(mid+1,r,v*2+1,mid+1,y);
		}
	}

查询所有数的第k大值

• 这是权值线段树的核心，思想如下：
• 到每个节点时，如果右子树的总和大于等于$k$，说明第$k$大值出现在右子树中，则递归进右子树；否则说明此时的第$k$大值在左子树中，则递归进左子树，注意：此时要将$k$的值减去右子树的总和。
• 为什么要减去？
• 如果我们要找的是第$7$大值，右子树总和为$4$，$7-4=3$，说明在该节点的第$7$大值在左子树中是第$3$大值。
• 最后一直递归到只有一个数时，那个数就是答案。

	int kth(int l,int r,int v,int k)
	{
		if(l==r) return l;
		else
		{
			int mid=(l+r)/2,s1=f[v*2],s2=f[v*2+1];
			if(k<=s2) return kth(mid+1,r,v*2+1,k); else return kth(l,mid,v*2,k-s2);
		}
	}

总结

• 权值线段树的基础知识就是这些了，相信你都学会了。
• 希望你能够灵活变通，在今后的OI生涯中更上一层楼。
• 如果你想学习进阶知识，可以看看【主席树】可持久化线段树