中国剩余定理&扩展中国剩余定理 入门详解

中国剩余定理

例题

• 已知以下$n$同余方程（所有$m_i$互质）：
• $x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)$
• $x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)$
• $x\equiv a_3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_3)$
• ……
• $x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)$
• 求最小的$x$.

样例

$n=3$
$x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$
$x\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$
$x\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$

朴素解法

• 先找出符合第一条的最小的$x$，
• 那么$x=4$.
• 再看使它符合第二条，同时保证第一条成立，每次加上$3$，
• $x=7$时，成立，
• 还要使它满足第三条，同时保证前两条成立，每次加上$gcd(3,5)=15$，
• $x=52$时，成立，
• 所以最终答案就是$x=52$。
• 这样做非常慢，如果式子太多效率是非常低的。

中国剩余定理

• 先令$M=\Pi m_i$，$c_i=\frac{M}{m_i}$，$c_i^{-1}$表示$c_i$在模$m_i$意义下的乘法逆元，
• 则答案$$Ans=\sum a_i\ast c_i\ast c_i^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$$

证明

• 只需要证明方程组中每条式子成立即可，
• 也就是说，证明任意一个$i$，有$Ans\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$
• 当$i�=j$时，有$c_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_j=0$，
• 所以$$Ans\equiv \sum a_j\ast c_j\ast c_j^{-1}\equiv a_i\ast c_i\ast c_i^{-1}\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$$
• 即该定理成立。

扩展中国剩余定理

例题

• 已知以下$n$同余方程（所有$m_i$互质的条件不存在了）：
• $x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)$
• $x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)$
• $x\equiv a_3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_3)$
• ……
• $x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)$
• 求最小的$x$.

分析

• 朴素解法仍然适用。
• 但如果用中国剩余定理的话，不保证互质的情况下，乘法逆元无法求得，
• 此时需要用别的方法。

扩展中国剩余定理

• 这里直接用一般的形式来讲解。
• 先使前两条式子成立，
• $x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)$
• $x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)$
• 可以变形为：
• $x=m_1\ast y_1+a_1$
• $x=m_2\ast y_2+a_2$
• 则$m_1\ast y_1+a_1=m_2\ast y_2+a_2$
• 变形得到$m_1\ast y_1-m_2\ast y_2=a_2-a_1$
• 式子中的$y_1$和$y_2$是未知的，显然可以用扩展欧几里德来求解！
• 当然要判断$gcd(m_1,m_2)$是否能被$a_2-a_1$整除，如果不行则是无解的。
• 当$y_1$和$y_2$求出以后，都乘上$(a_2-a_1)/gcd(m_1,m_2)$
• 求出当前的解$x^{\prime }$.
• 接着当前的解可以转换成一条新的方程式：
• $x=x^{\prime }(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}lcm(m_1,m_2))$，
• 这样继续和下一条方程式合并成一条新的方程式，
• 当只剩一条方程时，$x^{\prime }$就是最终的答案。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
LL a[11],m[11];
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	LL d=exgcd(b,a%b,x,y);
	LL t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return d;
}
int main()
{
	int n,i;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
	LL A=a[1],M=m[1];
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		LL x=0,y=0;
		LL l=a[i]-A;
		LL d=exgcd(M,m[i],x,y);
		if(l%d>0)
		{
			printf("-1");
			return 0;
		}
		x*=l/d;
		x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
		A+=M*x;
		M=M/d*m[i];
		A%=M;
	}
	printf("%lld",A);
	return 0;
}