JZOJ 3362. 【NOI2013模拟】数数（DFS）

JZOJ 3362. 【NOI2013模拟】数数

题目

Description

神犇最近闲来无事，于是就思考哲学，研究数字之美。在神犇看来，如果一个数的各位能够被分成两个集合，而且这两个集合里的数的和相等，那么这个数就是优美的（具体原因就只有神犇才知道了）。现在神犇在思考另一个问题，在区间[A,B]中有多少个数是优美的？这个问题对于神犇来说很简单，相信对于你来说也不难。

Input

输入只有一行，包含两个整数A和B。

Output

输出只有一行，包含一个整数，代表区间[A,B]中优美的数的个数。

Sample Input

样例1:
1 11

样例2:
6354 234363

Sample Output

样例1:
1

样例2:
82340

Data Constraint

对于30%的数据，$1\le A\le B\le 1000$.
对于50%的数据，$1\le A\le B\le 10^7$.
对于100%的数据，$1\le A\le B\le 10^9$.

题解

• 题外话：
• 这题可以打表，用不长的时间先暴搜出每$10^6$的答案的前缀和（分块打表），
• 询问时只用暴力计算两头不完整的块的答案，可过！！！
• 以下进入正题——
• 这题需要很多铺垫，
• 首先想想怎么判断每个数是否为优美的？
• 方法一：DFS枚举每一位放集合$1$还是集合$2$，然后判断两集合元素之和是否相等；
• 方法二：设$sum$为每一位的数之和，若其为奇数，自然无解，否则用背包（$0/1$）看看每一位的数是否可以组合成$\frac{sum}{2}$；
• 方法三：直接用一个变量$p$（$longlong$）在二进制下代替背包（自己手推一下），每加入一位$x$，直接$p=p|(p<<x)$。
• 尽管这些方法一个比一个快，但终究是对于每一个数单独判断的，既然范围最大达到了$10^9$，那时间还是会超限，
• 所以自然想到不能单独判断每个数。
• 按照一般的思路，我们可以设$Ans[i]$为$[1,i]$的优美的数的个数，那么答案为$Ans[B]-Ans[A-1]$，
• 现在的问题变成了怎么求$Ans[x]$？
• 设$x$的位数为$L$，暴力DFS枚$0-9$各选择几个（时间极小），满足个数之和为$L$，
• 接着按照上面最快的方法三判断这些数是否可行，不可行直接舍去，
• 可行的话则计算这些数有多少排列方式，
• 这绝对不是一条式子就能完成的事，因为需要保证排列后的数不超过上限$x$，
• 设DFS出的$0-9$所选的个数为$a[i](i\in [0,9]\cap i\in \mathbb{N})$
• 再来一个DFS从高位往低位填数，
• 每到一位先来统计答案，
• 强制限定这一位所填小于$x$的这一位，设填数为$p$，需保证还有$p$可选，也就是当前$a[p]>0$（显然），
• 先给$a[p]-1$，
• 接着$Ans=Ans+\frac{(\sum a[i])!}{\Pi a[i]!}$（因为当前位已经小于了，所以剩下的数可以任意顺序填，同时除去相同的数顺序调换的方案），
• 再给$a[p]+1$；
• 接着再来向后填数，
• 这是强制限定这一位所填等于$x$的这一位，
• 保证$a[p]>0$，给$a[p]-1$，DFS进去后一位，回溯时$a[p]+1$。
• 这样就能保证每种填数的情况是不重不漏的了，
• 但是，我们会发现，这样填下去在统计答案时（见上方）怎样填出的数总是小于原数$x$，
• 所以最终的答案应该为$Ans[B+1]-Ans[A]$.

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
int c[11],a[10],ans,ls,f[10];
void dfs1(int k)
{
	if(k>ls) return;
	for(int i=0;i<c[ls-k+1];i++) if(a[i]) 
	{
		a[i]--;
		int s=0;
		for(int j=0;j<=9;j++) s+=a[j];
		s=f[s];
		for(int j=0;j<=9;j++) s/=f[a[j]];
		ans+=s;
		a[i]++;
	}
	int i=c[ls-k+1];
	if(a[i]) a[i]--,dfs1(k+1),a[i]++;
}
void dfs(int k,int s,int sum,int x)
{
	if(k>9)
	{
		if(sum%2) return;
		if(a[0]==ls) return ;
		LL p=1;
		for(int i=0;i<=9;i++) 
		{
			for(int j=1;j<=a[i];j++) 
			{
				p=(p<<i)|p;
				p%=(LL)1<<(LL)50;
			}
		}
		LL r=(LL)1<<(LL)(sum/2);
		if((p&r)==0) return;
		dfs1(1);
		return;
	}
	if(k==9) 
	{
		a[k]=ls-s;
		dfs(k+1,ls,sum+9*(ls-s),x);
		return;
	}		
	for(int i=0;i<=ls-s;i++)
	{
		a[k]=i;
		dfs(k+1,s+i,sum+k*i,x);
	}
}
int count(int x)
{
	if(x==0) return 0;
	int t=x;ls=0;
	while(t) c[++ls]=t%10,t/=10;
	ans=0;
	memset(a,0,sizeof(a));
	dfs(0,0,0,x);
	return ans;
}
int main()
{
	int a,b;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=9;i++) f[i]=f[i-1]*i;
	printf("%d",count(b+1)-count(a));
	return 0;
}