向量叉积分配律简单证明

向量叉积分配律简单证明

引入

叉积

• 向量叉积即向量积$a\times b$，运算结果是一个向量，满足：
• 方向与$a$,$b$都垂直，符合右手法则；
• 模等于$|a||b|sin\theta$，几何意义为以$a$,$b$为邻边的平行四边形面积大小。

坐标运算

• 令$a=(m,n)$，$b=(p,q)$
• $a\times b$的竖坐标$=\pm (mq-np)$（符号遵循右手法则）

证明

• $a=(m,n)$，$b=(p,q)$
• 设$a=x1+y1=(m,0)+(0,n)$，$b=x2+y2=(p,0)+(0,q)$
• $a\times b$的竖坐标$=(x1+y1)\times (x2+y2)$
  $=x1\times x2+x1\times y2+y1\times x2+y1\times y2$
  $=x1\times y2+y1\times x2$
  $=(m,0)\times (0,q)+(0,n)\times (p,0)$
  $=\pm (mq-np)$
• 问题来了，这里的证明过程中，第一步直接把括号拆开，相当于默认叉积具有分配律，那么这一定是对的吗？
• 很多地方都没有给出证明，所以这里考虑对叉积分配律给出简单的证明。

证明

• 已知$a$,$b$,$c$为平面内向量，求证：$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$.
• 首先通过平移是向量起点重合，
• 从几何意义入手，需要满足以$a,b$为邻边的平行四边形面积与以$a,c$为邻边的平行四边形面积之和等于以$a,b+c$为邻边的平行四边形面积（这里的面积可能为负值），
  
• 显然，这么看难以证明。
• 那可以把$b$,$c$投影到与$a$垂直的直线上，令投影后的向量分别为$b^{\prime }$,$c^{\prime }$，如图：
  
• 由叉积的几何意义易得，$a\times b=a\times b^{\prime }$，$a\times c=a\times c^{\prime }$
• 故$a\times b+a\times c=a\times b^{\prime }+a\times c^{\prime }=-|a||b^{\prime }|+|a||c^{\prime }|=|a|(|c^{\prime }|-|b^{\prime }|)$
  
• 同理又有$a\times (b+c)=a\times (b+c{)}^{\prime }=|a||(b+c{)}^{\prime }|$，
• 因为$|c^{\prime }|-|b^{\prime }|=|(b+c{)}^{\prime }|$，所以$a\times b^{\prime }+a\times c^{\prime }=a\times (b+c{)}^{\prime }$，所以$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$，
• 得证。
• 实际上，这样就相当于把原先的三个普通平行四边形转化为了三个矩形，便于证明。