数学
枚举
\(对于f(n)=n的约数个数,有f(n)=\Omega(1),f(n)=O(n^{\frac{1.537 \times \ln2}{\ln\ln n}})=O(n^{\frac{1.066}{\ln\ln n}})\)
\(\sum_{i=1}^{n} \frac{n}{i} = O(n\ln n); \sum_{i=1}^{\pi(n)} \frac{n}{p_i} = O(n\ln\ln n); \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{i^2} = O(n)\)
斐波那契数列
\(定义：Fib_0 = 0, Fib_1 = 1, Fib_n = Fib_{n-1} + Fib_{n-2}\)
\(F_n = \frac{1}{\sqrt5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^n \right]\)
\(关于斐波那契数列的一些恒等式\)
\(Fib_1 + Fib_2 + \cdots + Fib_n = Fib_{n+2}-1\)
\(Fib_1^2 + Fib_2^2 + \cdots + Fib_n^2 = Fib_n Fib_{n+1}\)
\(Fib_1 + Fib_3 + Fib_5 + \cdots + Fib_{2n-1} = Fib_{2n}\)
\(Fib_2 + Fib_4 + Fib_6 + \cdots + Fib_{2n} = Fib_{2n+1} - 1\)
\(Fib_n = Fib_m Fib_{n-m+1} + Fib_{m-1} Fib_{n-m}\)
\(Fib_{n-1} Fib_{n+1} = Fib_n^2 + (-1)^n\)
\(斐波那契的数论相关\)
\(gcd(Fib_n,Fib_{n-1}) = gcd(Fib_{n-1},Fib_{n-2}) = 1\)
\(gcd(Fib_n,Fib_m) = Fib_{gcd(n,m)}\)
\(n|m \Leftrightarrow Fib_n | Fib_m, 除了 Fib_2 | Fib_{odd}\)
图论
连通性
\(定义半连通图为对于 \forall u,v \in V，\exists u \to v 或 v \to u；判定可以缩点拓扑后判断是否为一条链\)
\(定义强联通图为对于 \forall u,v \in V，\exists u \to v 和 v \to u；判定用tarjan\)
\(边双无桥，点双无割点\)
\(定理：一个有向图是强连通的当且仅当其存在闭合哈密顿遍历\)
\(证明：必要性显然，充分性显然\)
\(定理：一个非平凡连通图G存在强定向（即定向每条无向边使得得到的有向图强连通）当且仅当G是边双连通的\)
\(证明：\)
\(充分性：如果图不是双连通的，则切断桥之后的两个连通块不可能定向后强连通\)
\(必要性：考虑tarjan算法的过程，我们定树边向下，定非树边向上即可\)
竞赛图
\(定义竞赛图是一种有向图，每对 \forall u,v \in V, \exists (u,v) 或 (v,u) \in E;\)
\(定义强竞赛图是强联通的竞赛图\)
\(定理：所有竞赛图G包含一条哈密顿路径\)
\(证明：归纳的加点即可\)
\(定理：竞赛图强连通缩点后的DAG呈链状, 前面的所有点向后面的所有点连边\)
\(证明：显然\)
\(定理：定义任何一个有向图是泛圈的当且仅当对任意顶点v,图中存在长度为3,4,…,n且包含v的环，任何一个强竞赛图是泛圈的\)
\(证明：不会\)
\(如果u是竞赛图G中出度最大的节点，那么它和所有节点的距离不超过2\)
\(证明：\)
\(假设存在点w使得 \delta (u,w) \geq 3,考虑u与所有和u距离为1的节点(即与u距离不超过1的节点)构成一个集合S\)
\(显然不存在S向w的边，那么必然存在w向S集合每个点的边，那么w的出度就是u的出度+1,矛盾\)
\(兰道定理：\)
\(对于长度为n的序列s(\forall i,s_i<s_{i+1})是合法的比分（出度）序列当且仅当 \forall k \in [1,n],\sum_{i=1}^{k}s_i \geq C(k,2)\)
\(且k=n时这个式子必须取等号\)
\(证明：不会，有链接\)https://blog.csdn.net/a_crazy_czy/article/details/73611366
欧拉路径和哈密顿路径
\(定义图的欧拉路径是经过图中所有边恰一次的路径；求出图中的欧拉路径是板子题\)
\(定义图的哈密顿路径是经过图中所有节点的一条路径；求出图中的哈密顿路径是NPC问题\)
\(定义欧拉回路（哈密顿回路）是首尾相连的欧拉路径（哈密顿路径）\)
\(定理：一个有向图是强连通的当且仅当其存在闭合哈密顿遍历\)
\(证明：必要性显然，充分性显然\)
\(定理：一个有向强连通图G存在欧拉回路当且仅当每个点的入度等于出度\)
\(证明：有出有进，出进相等\)
\(定理：一个无向强连通图G存在欧拉回路当且仅当每个点的度数为偶数\)
原文链接
https://www.cnblogs.com/LLCSBlog/p/14020151.html
https://www.cnblogs.com/acha/p/9042984.html
https://blog.csdn.net/a_crazy_czy/article/details/73611366
https://www.cnblogs.com/1024th/p/10902775.html