浅谈关于欧几里得的一系列算法

浅谈关于欧几里得的一系列算法

--------- 这里有个叫分界线的家伙说，本章的所有讨论均在整数的范围中，所有除法都为带余除法o----------------

朴素欧几里得算法

又名辗转相除法，代码实现如下：

int gcd(int a, int b) // a >= b 
{  
      if(b == 0)    return a;  
      return gcd(b, a % b)  
}

想一想为什么可以这样计算？

我们设

(a=k_1m, b=k_2m ,gcd(a,b)=m, gcd(k_1,k_2)=1)

很容易发现，当我们进行加减运算的时候，他们的和或者差一定是 (m) 的倍数，也就是说最大公约数不改变

既然这样，那么当 (a mod b=0) 的时候可以发现此时的 (b) 一定就是最大公约数 (m)

而我们为了造出这个特殊情况，我们可以像代码中展示的那样不停的迭代，由于我们始终保证了 (a>b) ，所以我们最后一定能得到我们想要的情况，从而得到 (gcd)

扩展欧几里得算法

这个算法的用处是用来解形如 (ax + by = c) 的不定方程

首先，如果你进行过一点思考的话就为发现必须满足条件 (c mid gcd(a,b)) 原方程才有整数解

因此，我们可以把原式变成一个更容易讨论的形式

(ax+by=gcd(a,b) (a>=b))

由于上面的思考，不难发现

(ecause gcd(a,b)=gcd(b,a mod b))

同上，我们依然讨论一下它的特殊情况，当 (b=0) 时，也就是 (ax + by=a) 时，显然 (x=1, y=0)

那么我们要做的就是通过这个临界情况，反推出原方程的一组解

$ herefore $ 我们假设

(ax_1+by_1=gcd(a,b))

(bx_2+(a mod b)y_2=gcd(b,a mod b))

然后对这个形式做一些变形

(Rightarrow ax_1+by_1=bx_2+(a mod b)y_2)

(Rightarrow ax_1+by_1=bx_2+(a-frac{a}{b}b)y_2)

(Rightarrow ax_1+by_1=b(x_2-(frac{a}{b})y_2)+ay_2)

又由于恒等定理可得

(x_1=y_2, y_1=x_2-(frac{a}{b})y_2)

这样，我们就可以通过 (x_2, y_2) ，推断出 (x_1, y_1)

同样的道理，我们也就这样迭代下去，就可以得出那组特殊的解了

由于它的方法和朴素欧几里得算法有莫大的关联，所以我们可以在原来的代码上加上一些神秘的东西，变成扩展欧几里得算法

int exgcd(int aaa, int bbb, int &x, int &y)  
{  
    if(bbb == 0)  
    {  
        x = 1;  
        y = 0;  
        return aaa;  
    }  
    g = exgcd(bbb, aaa % bbb);  
    int temp = x; x = y; y = temp - aaa / bbb * y;  
    return g;  
}

类欧几里得算法

这个算法其实可以衍生出好几种，接下来我们所讲解的是最基础，也是最经典的那一种

设 (f(a,b,c,n)=sum_{i=0}^nlfloorfrac{ai+b}{c} floor)

我们要求的这个函数其实可以换个角度来观察

(f(a,b,c,n)=sum_{i=0}^nlfloorfrac{a}{c}i+frac{b}{c} floor)

其实这个函数的几何意义是一次函数下 (xin [0,n]) 整点的个数（包含直线上的点，但是不包含 (y=0) 的点）

所以我们就可以在这个思想上在进行一些变化

设 (m=lfloorfrac{an+b}{c} floor)

(f(a,b,c,n)=sum_{i=0}^n sum_{j=1}^m [frac{ai+b}{c}>=j])

(f(a,b,c,n)=sum_{i=0}^n sum_{j=0}^{m-1} [frac{ai+b}{c}>=j+1])

(f(a,b,c,n)=sum_{i=0}^n sum_{j=0}^{m-1} [ai>=cj+c-b])

(f(a,b,c,n)=sum_{i=0}^n sum_{j=0}^{m-1} [ai>cj+c-b-1])

(f(a,b,c,n)=sum_{i=0}^n sum_{j=0}^{m-1} [i>=(frac caj+frac{c-b-1}a)])

(f(a,b,c,n)=sum_{j=0}^{m-1} [n-(frac caj+frac{c-b-1}a)])

(f(a,b,c,n)=nm-sum_{j=0}^{m-1} [frac caj+frac{c-b-1}a])

(f(a,b,c,n)=nm-f(c,c-b-1,a,m-1))

通过这个变化，就可以递归求解了，时间复杂度和朴素欧几里得算法类似