设 $n=prod_{i=1}^{m}p_{i}^{k_i}$
对每个质因子单独考虑，如果 $a$ 的这个质因子 $p_i$ 的次数小于 $k_i$，那么 $b$ 的这个质因子次数必须为 $k_i$
考虑 $a$ 这个质因子有多少种的取值，如果取 $p_{i}^{0}$ 到 $p_{i}^{k_i-1}$ 那么 $b$ 都为 $p_{i}^{k_i}$
那么这种情况对 $a$ 的贡献就是 $sum_{j=0}^{k_i-1}p_{i}^{j}$
如果 $a$ 取 $p_{i}^{k_i}$ ，那么 $b$ 可以取 $p_{i}^{0}$ 到 $p_{i}^{k_i}$，一共有 $k_i+1$ 对
综合一下，$a$ 的这个质因子可以取的总和为 $sum_{j=0}^{k_i}p_{i}^{j}+k_{i} cdot p_{i}^{k_i}$
因为 $a$ 是各个质因子乘起来的结果，所以根据乘法原理 $a$ 的所有取值的总和为 $prod_{i=1}^{m}(sum_{j=0}^{k_i}p_{i}^{j}+k_{i} cdot p_{i}^{k_i})$
$b$ 也同理，然后发现这样把 $a,b$ 看成了有序数对，除了 $(n,n)$ 以外都算了两次，所以把和加上 $(n+n)$ 再除以 $2$ 就是答案了
$sum_{j=0}^{k_i}p_{i}^{j}$ 就是个等比数列求和的式子，公式直接套就行了
注意是在模意义下，套式子的时候负数要转正，除法要转逆元
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; inline int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } return x*f; } const int mo=1000000007; int T,m,a[17],b[17]; inline ll ksm(ll x,ll y) { ll res=1; while(y) { if(y&1) res=res*x%mo; x=x*x%mo; y>>=1; } return res; } inline ll F(int a,int x) { return 1ll*(1-ksm(a,x+1)+mo)*ksm(1-a+mo,mo-2)%mo; } int main() { T=read(); for(int k=1;k<=T;k++) { m=read(); for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=read(),b[i]=read(); ll n=1,ans=1; for(int i=1;i<=m;i++) { ll g=ksm(a[i],b[i]),t=(F(a[i],b[i])+1ll*b[i]*g%mo)%mo; ans=ans*t%mo; n=n*g%mo; } ans=(ans*2+(n+n))%mo; ans=ans*ksm(2,mo-2)%mo; printf("Case %d: %lld ",k,ans); } return 0; }