P5444 [APIO2019]奇怪装置

传送门

考虑求出最小的循环节 $G$ 使得 $t,t+G$ 得到的数对是一样的

由 $y equiv t mod B$ ，得到 $G$ 一定是 $B$ 的倍数，设 $zB=G$，则 $t,t+zB$ 结果相同

代入 $x equiv (t+left lfloor frac{t}{B} ight floor) mod A$

得到

$(t+zB+left lfloor frac{t+zB}{B} ight floor) equiv (t+left lfloor frac{t}{B} ight floor) mod A$

$(t+zB+z+left lfloor frac{t}{B} ight floor) equiv (t+left lfloor frac{t}{B} ight floor) mod A$

$(zB+z) equiv 0 mod A$

$z(B+1) equiv 0 mod A$

即 $z(B+1)$ 是 $A$ 的倍数

想得到最小的 $G$ 就要先求出最小的 $z$，考虑两边提出公因数 $gcd(A,B+1)$

那么 $z(B+1)/gcd(A,B+1) = kA/gcd(A,B+1) $

此时因为 $(B+1)/gcd(A,B+1)$ 已经和 $A/gcd(A,B+1)$ 没有公因数了

那么 $z$ 一定得是 $A/gcd(A,B+1)$ 的倍数，那么最小的 $z$ 就是当 $k=1$ 时， $z=A/gcd(A,B+1)$

所以 $G=zB=AB/gcd(A,B+1)$

那么对于一个时间段 $l,r$ ，如果 $r-l+1>=G$ 则所有数都会被覆盖到，答案就是 $G$

否则把 $l,r$ 对 $G$ 取模，因为此时 $r-l+1<G$，所以取模后如果 $l<=r$ 则 $l,r$ 区间的数会被考虑到

如果 $l>r$ 则 $[0,r]$ 和 $[l,G-1]$ 的数会被覆盖到，直接离散化看看哪些区间被覆盖到就好了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=4e6+7;
ll n,A,B,ans;
ll gcd(ll a,ll b) { return b ? gcd(b,a%b) : a; }
struct dat{
    ll pos,v;
    inline bool operator < (const dat &tmp) const {
        return pos!=tmp.pos ? pos<tmp.pos : v>tmp.v;
    }
}d[N];
ll tot;
int main()
{
    n=read(),A=read(),B=read();
    ll G=A/gcd(A,B+1)*B,l,r;//注意先除后乘
    while(n--)
    {
        l=read(),r=read();
        if(r-l+1>=G) { printf("%lld
",G); return 0; }
        l=l%G,r=r%G;
        if(l<=r) d[++tot]=(dat){l,1},d[++tot]=(dat){r,-1};
        else d[++tot]=(dat){0,1},d[++tot]=(dat){r,-1},d[++tot]=(dat){l,1},d[++tot]=(dat){G-1,-1};
    }
    sort(d+1,d+tot+1); int now=0; ll pre;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        if(d[i].v&&!now) pre=d[i].pos;//如果覆盖开始则记录左端点
        now+=d[i].v;
        if(!now) ans+=d[i].pos-pre+1;//覆盖结束统计答案
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}