BZOJ 3270: 博物馆

传送门

显然可以状态转移：

设 $f[k][x][y]$ 表示第 $k$ 时刻，第一个人在 $x$ ，第二个人在 $y$ 时的概率

那么转移显然：

$f[k][x][y]+=sum_{u}sum_{v}f[k-1][u][v]*(1-P_u)(1-P_v)/du[u]/du[v]$

其中 $u$ 和 $x$ 有边相连，$v$ 和 $y$ 有边向连，$du[i]$ 表示节点 $i$ 的度数，并且 $u!=v$

当然这只是一种情况的转移，还有三种情况：

$f[k][x][y]+=sum_{u}f[k-1][u][y]*(1-P_u)P_y/du[u]$

$f[k][x][y]+=sum_{v}f[k-1][x][v]*(1-P_v)P_x/du[v]$

$f[k][x][y]+=f[k-1][x][y]*P_x*P_y$

然后显然可以矩阵优化暴力转移 ，复杂度 $O(n^6log_k)$，$k$ 是转移步数，精度玄学

正解是考虑设 $f[x][y]$ 表示两人从起点到终点，经过状态 $(x,y)$ 即第一个人在 $x$，第二个人在 $y$ 的期望次数

状态转移的方程好像也差不多

$f[x][y]+=sum_{u}sum_{v}f[u][v]*(1-P_u)(1-P_v)/du[u]/du[v]$

$f[x][y]+=sum_{u}f[u][y]*(1-P_u)P_y/du[u]$

$f[x][y]+=sum_{v}f[x][v]*(1-P_v)P_x/du[v]$

$f[x][y]+=f[x][y]*P_x*P_y$

因为两人在同一个点时就不会继续走了，所以从起点出发两人在 $i$ 点相遇的概率就是两人从起点到终点，经过状态 $(i,i)$ 的期望次数（$f[i][i]$）

这个方程转移有环，可以列出所有转移方程然后用高斯消元解方程组

复杂度 $O(n^6)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=507;
int fir[N],from[N<<1],to[N<<1],cntt;
inline void add(int a,int b) { from[++cntt]=fir[a],fir[a]=cntt,to[cntt]=b; }
int n,m,nn,pa,pb,id[N][N],du[N];
db P[N],A[N][N],ans[N];
void Gauss()//高斯消元解方程组
{
    int pos;
    for(int i=1;i<=nn;i++)
    {
        pos=0;
        for(int j=i;j<=nn;j++) if(fabs(A[j][i])>fabs(A[pos][i])||!pos) pos=j;
        swap(A[i],A[pos]);
        for(int j=i+1;j<=nn;j++)
        {
            db w=A[j][i]/A[i][i];
            for(int k=i;k<=nn+1;k++) A[j][k]-=w*A[i][k];
        }
    }
    for(int i=nn;i;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<=nn;j++) A[i][nn+1]-=ans[j]*A[i][j];
        ans[i]=A[i][nn+1]/A[i][i];
    }
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),pa=read(),pb=read();
    nn=n*n; int now=0,a,b;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++) id[i][j]=++now;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        a=read(),b=read();
        add(a,b); add(b,a);
        du[a]++; du[b]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&P[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举u
        for(int j=1;j<=n;j++)//枚举v
        {
            if(i==j) continue;//注意如果i=j就不能转移
            for(int k=fir[i];k;k=from[k])//枚举x
                for(int l=fir[j];l;l=from[l])//枚举y
                    A[ id[to[k]][to[l]] ][id[i][j]]-=(1.0-P[i])*(1.0-P[j])/du[i]/du[j];
            for(int k=fir[i];k;k=from[k]) A[ id[to[k]][j] ][id[i][j]]-=(1.0-P[i])*P[j]/du[i];
            for(int k=fir[j];k;k=from[k]) A[ id[i][to[k]] ][id[i][j]]-=(1.0-P[j])*P[i]/du[j];
            A[id[i][j]][id[i][j]]-=P[i]*P[j];
            //构造矩阵
        }
    for(int i=1;i<=nn;i++) A[i][i]++;
    A[id[pa][pb]][nn+1]=1;//起点初始为1
    Gauss();
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.6lf ",ans[id[i][i]]);
    return 0;
}