P3345 [ZJOI2015]幻想乡战略游戏

传送门

考虑先随便找一个点作为根，然后再慢慢移动根，这样一步步走到最优的点

设 $sum[x]$ 表示节点 $x$ 的子树的军队数，$len(x,y)$ 表示 $x,y$ 之间边的长度

那么对于根节点 $x$ 的一个儿子 $v$，考虑把儿子搞为根时，代价的改变量

$v$ 的子树内的军队消耗减少，共减少了 $sum[v]cdot len(x,v)$ 

$v$ 的子树外的军队消耗增加，即根节点 $x$ 的子树内除了 $v$ 子树的军队消耗增加

代价增加了 $(sum[x]-sum[v])cdot len(x,y)$

如果儿子比父亲优，那么整理可得 $2sum[v]>sum[x]$，显然满足条件的 $v$ 只有一个

此时如果没有满足的 $v$ ，那么 $x$ 就是最优点，否则最优点在 $x$ 的子树内

如果每次都一个一个儿子跳下去，显然会GG

但是因为最优点在子树内所以可以考虑在点分树上跳

我们需要维护两个东西 : $S[x],Sf[x]$，分别表示节点 $x$的点分树子树到 $x$ 的总代价，节点 $x$ 的点分树子树到 $x$ 在点分树父亲 $Fa[x]$ 的总代价

那么计算一个节点 $x$ 的总消耗就考虑一直往 $Fa$ 跳，每次跳完就考虑这一段产生的代价

设当前跳到了节点 $now$

那么十分显然 $Fa[now]$ 的点分树子树 不包括 $now$ 的点分树子树 的部分新产生的代价为 $S[Fa[now]]-Sf[now]+(sum[Fa[now]]-sum[now])cdot dis(Fa[now],x)$

（$dis(x,y)$表示节点 $x,y$ 在原树上的距离，注意此时 $sum[x]$ 表示节点 $x$ 的点分树子树军队总数）

我们可以用 RMQ 求 LCA 来 $O(1)$ 求出两点间的距离

至于修改操作也在点分树上直接维护就好了

注意$long long$，代码有注释

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=2e5+7,INF=1e9+7;
int fir[N],from[N],to[N],val[N],cntt;
inline void add(int &a,int &b,int &c)
{
    from[++cntt]=fir[a]; fir[a]=cntt;
    to[cntt]=b; val[cntt]=c;
}
int n,m,tot,rt;
int sz[N],mx[N],Fa[N];
vector <int> V[N],G[N];//存点分树
bool vis[N];
void find_rt(int x,int fa)
{
    sz[x]=1; mx[x]=0;
    for(int i=fir[x];i;i=from[i])
    {
        int &v=to[i]; if(v==fa||vis[v]) continue;
        find_rt(v,x); sz[x]+=sz[v];
        mx[x]=max(mx[x],sz[v]);
    }
    mx[x]=max(mx[x],tot-sz[x]);
    if(mx[x]<mx[rt]) rt=x;
}
void build(int x)//建点分树
{
    vis[x]=1;
    for(int i=fir[x];i;i=from[i])
    {
        int &v=to[i]; if(vis[v]) continue;
        tot=sz[v]; rt=0; find_rt(v,0);
        V[x].push_back(rt); G[x].push_back(v);
        Fa[rt]=x;  build(rt);
    }
}
int st[N],dfn[N],pos[N],dis[N],Top,dfs_clock,f[N][21],Log[N];//维护RMQ求LCA维护dis
void dfs(int x,int fa)
{
    dfn[x]=++dfs_clock; st[++Top]=x; pos[x]=Top;
    for(int i=fir[x];i;i=from[i])
    {
        int &v=to[i]; if(v==fa) continue;
        dis[v]=dis[x]+val[i]; dfs(v,x);
        st[++Top]=x;
    }
}
void pre()
{
    Log[0]=-1; for(int i=1;i<=Top;i++) Log[i]=Log[i>>1]+1;
    for(int i=1;i<=Top;i++) f[i][0]=st[i];
    for(int i=1;(1<<i)<=Top;i++)
        for(int j=1;j+(1<<i-1)<=Top;j++)
        {
            if(dfn[f[j][i-1]]<dfn[ f[j+(1<<i-1)][i-1] ]) f[j][i]=f[j][i-1];
            else f[j][i]=f[j+(1<<i-1)][i-1];
        }
}
inline int LCA(int x,int y)
{
    int l=pos[x],r=pos[y]; if(l>r) swap(l,r);
    int k=Log[r-l+1];
    if(dfn[f[l][k]]<dfn[f[r-(1<<k)+1][k]]) return f[l][k];
    return f[r-(1<<k)+1][k];
}
inline int Dis(int x,int y) { return dis[x]+dis[y]-2*dis[LCA(x,y)]; }
ll sum[N],S[N],Sf[N];//注意long long
inline void change(int x,int y)//修改操作
{
    sum[x]+=y;
    for(int now=x;Fa[now];now=Fa[now])//在点分树上跳
    {
        int d=Dis(x,Fa[now]);
        Sf[now]+=1ll*d*y;
        S[Fa[now]]+=1ll*d*y;
        sum[Fa[now]]+=y;
    }
}
inline ll calc(int x)//计算以x为根的花费
{
    ll res=S[x];
    for(int now=x;Fa[now];now=Fa[now])
    {
        int d=Dis(x,Fa[now]);
        res+=S[Fa[now]]-Sf[now]+(sum[Fa[now]]-sum[now])*d;
    }
    return res;
}
ll query(int x)//点分树上暴力dfs找最优解
{
    ll res=calc(x); int len=V[x].size();
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        ll t=calc(G[x][i]);//注意是算G[x][i]
        if(t<res) return query(V[x][i]);//注意是往V[x][i]跳
    }
    return res;
}
int main()
{
    int a,b,c,RT;
    n=read(); m=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        a=read(),b=read(),c=read();
        add(a,b,c); add(b,a,c);
    }
    tot=n; mx[0]=INF;
    find_rt(1,0); RT=rt; build(rt);
    dfs(1,0); pre();
    while(m--)
    {
        a=read(); b=read();
        change(a,b);
        printf("%lld
",query(RT));
    }
    return 0;
}