1 #include <iostream>
2 #include <cstring>
3 #include <cstddef>
4 #include <cstdio>
5 #include <string>
6 #include <algorithm>
7
8 const int maxn = 100001;
9 int wa[maxn],wb[maxn],wv[maxn],ws[maxn];
10 /*
11 wa[]: 本意是保存各个后缀的rank值的，但是这里并没有去存储rank值，因为后续只是涉及wa[]的比较工作，
12 因而这一步可以不用存储真实的rank值，能够反映相对的大小即可。
13 wb[]: 存放的是按第二关键字排序的子串首字符下标
14 wv[]: 存放每个子串的第一关键字
15 ws[]: 存放每个rank值的数目
16 */
17 int cmp(int *rank, int a,int b,int l)
18 {
19 return rank[a]==rank[b] && rank[a+l]==rank[b+l];
20 }
21 /*
22 比较函数，合并的子串相同则返回1，不同返回0；
23 就像论文所说，由于末尾填了0，所以如果r[a]==r[b]（实际是y[a]==y[b]），
24 说明待合并的两个长为j的字符串，前面那个一定不包含末尾0，因而后面这个的起始位置至多在0的位置，不会再靠后了，因而不会产生数组越界。
25 */
26
27 /*
28 *r: 数组(字符串)
29 *sa: 后缀数组
30 n: 字符串中字符的个数，注意这里的n里面是包括人为在字符串末尾添加的那个0的
31 m: 字符串中字符的取值范围，是基数排序的一个参数，如果原序列都是字母可以直接取128，
32 如果原序列本身都是整数的话，则m可以取比最大的整数大1的值。
33 */
34 void da(int *r,int *sa,int n,int m)
35 {
36 int i, k, p, *x=wa, *y=wb, *t;
37 /*
38 x[]里面本意是保存各个后缀的rank值的，但是这里并没有去存储rank值，因为后续只是涉及x[]的比较工作，
39 因而这一步可以不用存储真实的rank值，能够反映相对的大小即可。
40 y[]里存放的是按第二关键字排序的字符串下标
41 *t 作交换指针
42 */
43
44
45 /*以下四行代码是把长度为1的子串进行基数排序*/
46 /*如果不理解为什么这样可以达到基数排序的效果，建议自己实际用纸笔模拟一下*/
47 for(i=0;i<m;i++) ws[i] = 0;
48 for(i=0;i<n;i++) ws[x[i] = r[i]]++;
49 for(i=1;i<m;i++) ws[i] += ws[i-1];
50 for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[x[i]]] = i;
51 /*ws[]数组对原字符串中各字符的数目进行统计
52 第1行清零；
53 第2行上面已经提到x[]保存的是后缀的相对rank值，x[i] = r[i]的意思是将x[i]初始化为各字符的值，字符的ASCII值也就可以代表长度为1的子串的相对顺序
54 第3行的作用即求出最后一个子串i的rank是多少，供第4行使用
55 第4行相当于从后向前得到各子串的sa[]数组，i之所以从n-1开始循环，是为了保证在当字符串中有相等的字符串时，默认靠前的字符串更小一些。*/
56 for(int i = 0; i < n; i++)
57 {
58 printf("sa[%d]: %d
", i, sa[i]);
59 }
60
61 /*下面这层循环中p代表rank值不同的字符串的数量，也可以这么理解，所有子串排序后，相等的子串rank值相同，则rank的范围是[1,p];
62 如果p达到n，即各后缀的rank与sa已全部求出；因为长度不一，所以不可能出现相等的情况；
63 k代表当前待合并的字符串的长度，每次将两个长度为k的字符串合并成一个长度为2k的字符串；
64 m同样代表基数排序的元素的取值范围*/
65 for(k=1, p=1; p<n; k*=2, m=p)
66 {
67 /*以下两行代码实现对第二关键字的排序*/
68 /*所谓第二关键字即子串r[i+k, k]与r[j+k, k]的rank比较*/
69 p=0; for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;
70 /*结合论文的插图，我们可以看到位置在第n-k至n的元素的第二关键字都为0，因此如果按第二关键字排序，必然这些元素都是排在前面的（第二关键字为0即无法构成以r[i]为首字符的长度为2k的子串）。*/
71 /*y[]里存放的是按第二关键字排序的子串首字符下标*/
72 for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;
73 /*结合论文的插图，我们可以看到，下面一行的第二关键字不为0的部分都是根据上一次的排序结果得到的，
74 且上一行中只有sa[i]>=k的第sa[i]个字符串
75 （这里以及后面指的“第?个字符串”不是按字典序排名来的，是按照首字符在字符串中的位置来的）
76 的rank才会作为下一行的第sa[i]-j个字符串的第二关键字，而且显然按sa[i]的顺序rank[sa[i]]是递增的，
77 因此完成了对剩余的元素的第二关键字的排序。*/
78
79 printf("k: %d
", k);
80 for(int i = 0; i < p; i++)
81 {
82 printf("y[%d] : %d
", i, y[i]);
83 }
84
85 for(i=0;i<n;i++) wv[i]=x[y[i]];
86 /*这里相当于提取出每个字符串的第一关键字（前面说过了x[]是保存rank值的，也就是字符串的第一关键字），放到wv[]里面是方便后面的使用*/
87
88 /*以下四行代码是按第一关键字进行的基数排序*/
89 /*
90 wv[]: 存放每个子串的第一关键字，wv[i] = x的含义为按第二关键字第i小的子串的第一关键字的值
91 ws[]: 存放每个rank值的数目
92 */
93 for(int i = 0; i < n; i++)
94 {
95 printf("x[y[%d]]: %d
", i, x[y[i]]);
96 }
97 for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
98 for(i=0;i<n;i++) ws[wv[i]]++;
99 for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
100 for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[wv[i]]]=y[i];
101 /*此处巧妙地将第一关键字与第二关键字结合起来了，注意理解*/
102
103 /*i之所以从n-1开始循环，含义同上，同时注意这里是y[i]，因为y[i]里面才存着字符串的下标*/
104
105 /*下面两行就是计算合并之后的rank值了，而合并之后的rank值应该存在x[]里面，但我们计算的时候又必须用到上一层的rank值，
106 也就是现在x[]里面放的东西，如果我既要从x[]里面拿，又要向x[]里面放，怎么办？
107 当然是先把x[]的东西放到另外一个数组里面，省得乱了。这里就是用交换指针的方式，高效实现了将x[]的东西“复制”到了y[]中。*/
108 t=x,x=y,y=t;
109 for(p=1,x[sa[0]]=0,i=1;i<n;i++)
110 x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],k)?p-1:p++;
111
112 /*
113 这里就是用x[]存储计算出的各字符串rank的值了，记得我们前面说过，计算sa[]值的时候如果字符串相同是默认前面的更小的，
114 但这里计算rank的时候必须将相同的字符串看作有相同的rank，要不然p==n之后就不会再循环啦
115 p的值表示的是此时关键字不同的串的数量
116 cmp比较函数，合并的子串相同则返回1，不同返回0；
117 注意p和i的初始值需为1，因为循环中存在i-1和p-1，而x[sa[0]]的值也需初始化为0
118 */
119 }
120 return;
121 }
122
123 //能够线性计算height[]的值的关键在于h[](height[rank[]])的性质，即h[i]>=h[i-1]-1，下面具体分析一下这个不等式的由来。
124 //论文里面证明的部分一开始看得我云里雾里，后来画了一下终于搞明白了，我们先把要证什么放在这：对于第i个后缀，设j=sa[rank[i] - 1]，也就是说j是i的按排名来的上一个字符串，按定义来i和j的最长公共前缀就是height[rank[i]]，我们现在就是想知道height[rank[i]]至少是多少，而我们要证明的就是至少是height[rank[i-1]]-1。
125 //好啦，现在开始证吧。
126 //首先我们不妨设第i-1个字符串（这里以及后面指的“第?个字符串”不是按字典序排名来的，是按照首字符在字符串中的位置来的）按字典序排名来的前面的那个字符串是第k个字符串，注意k不一定是i-2，因为第k个字符串是按字典序排名来的i-1前面那个，并不是指在原字符串中位置在i-1前面的那个第i-2个字符串。
127 //这时，依据height[]的定义，第k个字符串和第i-1个字符串的公共前缀自然是height[rank[i-1]]，现在先讨论一下第k+1个字符串和第i个字符串的关系。
128 //第一种情况，第k个字符串和第i-1个字符串的首字符不同，那么第k+1个字符串的排名既可能在i的前面，也可能在i的后面，但没有关系，因为height[rank[i-1]]就是0了呀，那么无论height[rank[i]]是多少都会有height[rank[i]]>=height[rank[i-1]]-1，也就是h[i]>=h[i-1]-1。
129 //第二种情况，第k个字符串和第i-1个字符串的首字符相同，那么由于第k+1个字符串就是第k个字符串去掉首字符得到的，第i个字符串也是第i-1个字符串去掉首字符得到的，那么显然第k+1个字符串要排在第i个字符串前面，要么就产生矛盾了。同时，第k个字符串和第i-1个字符串的最长公共前缀是height[rank[i-1]]，那么自然第k+1个字符串和第i个字符串的最长公共前缀就是height[rank[i-1]]-1。
130 //到此为止，第二种情况的证明还没有完，我们可以试想一下，对于比第i个字符串的字典序排名更靠前的那些字符串，谁和第i个字符串的相似度最高（这里说的相似度是指最长公共前缀的长度）？显然是排名紧邻第i个字符串的那个字符串了呀，即sa[rank[i]-1]。也就是说sa[rank[i]]和sa[rank[i]-1]的最长公共前缀至少是height[rank[i-1]]-1，那么就有height[rank[i]]>=height[rank[i-1]]-1，也即h[i]>=h[i-1]-1。
131 //证明完这些之后，下面的代码也就比较容易看懂了。
132 int rank[maxn],height[maxn];
133 void calheight(int *r,int *sa,int n)
134 {
135 int i,j,k=0;
136 for(i=1;i<=n;i++) rank[sa[i]]=i; //计算每个字符串的字典序排名
137 for(i=0;i<n;height[rank[i++]]=k) //将计算出来的height[rank[i]]的值，也就是k，赋给height[rank[i]]。i是由0循环到n-1，但实际上height[]计算的顺序是由height[rank[0]]计算到height[rank[n-1]]。
138 for(k?k--:0,j=sa[rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++); //上一次的计算结果是k，首先判断一下如果k是0的话，那么k就不用动了，从首字符开始看第i个字符串和第j个字符串前面有多少是相同的，如果k不为0，按我们前面证明的，最长公共前缀的长度至少是k-1，于是从首字符后面k-1个字符开始检查起即可。
139 return;
140 }
141
142 //最后再说明一点，就是关于da和calheight的调用问题，实际上在“小罗”写的源程序里面是如下调用的，这样我们也能清晰的看到da和calheight中的int n不是一个概念，同时height数组的值的有效范围是height[1]~height[n]其中height[1]=0，原因就是sa[0]实际上就是我们补的那个0，所以sa[1]和sa[0]的最长公共前缀自然是0。
143 int main()
144 {
145 int r[] = {1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2}, sa[maxn];
146 int n = 8;
147 r[8] = 0;
148 da(r,sa,n+1,128);
149 calheight(r,sa,n);
150 }
