【LIC--最长递增子序列问题】 在一列数中寻找一些数,这些数满足:任意两个数a[i]和a[j],若i<j,必有a[i]<a[j],这样最长的子序列称为最长递增子序列。
O(nlogn)算法:所需要的数组
1、数组T
2、增设一个minT[]数组,minT[x]存放长度为x的最长上升子序列的最小末尾数。
3、dp[i],从一到元素T[i]结尾的最长上升子序列的长度;
具体原理转自网络:
设 T[t]表示序列中的第t个数,dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度,初始时设dp[t] = 0(t = 1, 2,
..., len(T))。则有动态规划方程:
dp[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1,
且A[j] < A[t])。
现在,我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y],满足
(1)x < y < t
(2)A[x] < A[y] < A[t]
(3)dp[x] = dp[y]
此时,选择dp[x]和选择dp[y]都可以得到同样的dp[t]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,应该选择T[x]还是应该选择T[y]呢?
很明显,选择T[x]比选择T[y]要好。因为由于条件(2),在T[x+1] ... T[t-1]这一段中,如果存在T[z],T[x] < T[z] < T[y],则与选择T[y]相比,将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据dp[]的值进行分类。对于dp[]的每一个取值k,我们只需要保留满足dp[t] =
k的所有T[t]中的最小值。设minT[k]记录这个值,即minT[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。
注意到minT[]的两个特点:
(1) minT[k]的值是在整个计算过程中是单调不下降的。
(2) minT[]的值是有序的,即minT[1] < minT[2] < minT[3] < ... < minT[n]。
利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断T[t]与minT[len]。若T
[t] > minT[len],则将T[t]接在minT[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, minT[len] = T[t];否则,在minT[1]..minT[len]中,找到最大的j,满足minT[j] < T[t]。令k = j + 1,则有T[t] <= minT[k],将T[t]接在minT[j]后将得到一个更长的上升子序列,更新minT[k] = T[t]。最后,len即为所要求的最长上升子序列的长度。
由于D[]的特点(2),我们在minT[]中查找时,可以使用二分查找(或lower_bound)高效地完成,则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,minT[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列!
以UVa - 10635 - Prince and Princess为例
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstdlib> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 using namespace std; 7 const int maxn = 255*255; 8 const int INF = 0x7fffffff; 9 int main() 10 { 11 int T; 12 scanf("%d", &T); 13 for(int kase = 1; kase <= T; kase++) 14 { 15 int n, p, q, x, T[maxn], New[maxn], dp[maxn], minT[maxn], ans = 0; 16 memset(New, 0, sizeof(New)); 17 scanf("%d%d%d", &n, &p, &q); 18 for(int i = 0; i <= p; i++) 19 { 20 scanf("%d", &x); 21 New[x] = i+1; 22 } 23 int k = 0; 24 for(int i = 0; i <= q; i++) 25 { 26 scanf("%d", &x); 27 if(New[x]) 28 T[k++] = New[x]; 29 } 30 for(int i = 1; i <= k; i++) minT[i] = INF; 31 for(int i = 0; i < k; i++) 32 { 33 int m = lower_bound(minT+1, minT+1+k, T[i])-minT; //找到序列中不大于T[i]的最大的数,正因为(二分)查找才使得复杂度变身为n*log(n) 34 dp[i] = m; //以元素T[i]结尾的最长上升子序列的长度 35 minT[m] = T[i]; //长度为m的上升子序列中最大元素的值; 36 ans = max(ans, dp[i]); 37 } 38 printf("Case %d: %d ", kase, ans); 39 } 40 return 0; 41 }