[f(i,j)表示生成jk棵大小为i的树全部同构的方案数\
g(i,j,t)表示用大小不超过i的树生成大小和为t的一堆树的等价类的大小的jk次幂和\
f(i,j)=g(i-1,j,i-1)\
枚举大小为i的子树个数v做背包\
g(i,j,t)=sumlimits_{iv+k=t}g(i-1,j,k)h(i,j,v)inom {t}{iv}^{jk}\
inom {t}{iv}^{jk}是在重分配标号，乘上扩大等价类大小倍数的jk次方的贡献。\
h(i,j,v)表示使用v棵大小为i的树，等价类大小的jk次幂和\
然后为了计算h,我们引入群论计数的知识\
定义 ext G是一个长度为m的置换群，大小为m!，换言之 ext G包含所有的m长度置换\
定义一个森林的向量集合X,forall xin X,x内部为有序的等价类(颜色)标号。\
定义元素的权值w(x)=prodlimits_{i=1}^mf(I,a_ij),不难发现任意轨道元素权值相等\
于是我们定义w(x^G)=w(x)\
现在需要的是所有轨道的权值和\
h(i,j,v)=sumlimits_{xin X}frac {w(x^G)}{|x^G|}prodlimits_{i=1}^mfrac 1{(a_i!)^{jk}}\
因为这个权值不讲武德，我们考虑使用 ext{burnside}引理的加权形式。\
定义c(f)的权值为所有不动点的和，不难证明，
sumlimits_xfrac {w(x^G)}{|x^G|}=frac 1{|G|}sumlimits_{fin G}w(c(f))\
好，考虑如果我们把后面的东西强行放进轨道里，不动点的权值之间就无法转移。\
因为frac 1{(x!)^k}frac 1{(y!)^k}
eq frac 1{(x+y)!^k}\
于是我们考虑构造稳定化子的权值,\
令W(f)为置换f的权值,定义W(G_x)为所有稳定化子中置换的权值和。\
再看一眼h(i,j,v)=sumlimits_{xin X}frac {w(x^G)}{|x^G|}prodlimits_{i=1}^mfrac 1{(a_i!)^{jk}}\
令prodlimits_{i=1}^mfrac 1{(a_i!)^{jk}}=A
]
[如果构造frac{|x^G|W(G_x)}{|G|}=A,则有\
sumlimits_xfrac {w(x^G)}{|x^G|}A=frac 1{|G|}sumlimits_fW(f)w(c(f))\
为什么成立？考虑 ext{burnside}的引理的证明过程，稳定化子的权值是在对点k的不动置换求和。\
这里我们还是枚举置换，对相应的不动点乘上本身的置换求和。\
其实就是
sumlimits_{xin X}w(x)sumlimits_{fin G_x}W(f)=sumlimits_{fin G}W(f)sumlimits_{xin c(f)}w(x)\
随便换一下带进去就可以证明了\
那么先假设我们构造成功了，我们就有h(i,j,v)=frac 1{v!}sumlimits_{f}W(f)w(c(f))\
好，现在这个东西没法直接做，我们自然想到 ext{P}acute{ ext{o}} ext{lya}定理。\
于是我们考虑将f表示为{a_1,a_2,ldots,a_m}这些长度分别为1到m的轮换,这些轮换互相独立。\
我们只需要给轮换构造权值W(a_i),那么就有\
W(f)w(c(f))=prodlimits_{i=1}^mf(I,a_ij)W(a_i)\
这个时候可以转移了，注意到两维的乘积在变小，所以j也有了边界。\
我们再考虑转移里的一些细节，\
我们要处理的是对所有置换f去求上面的式子的和，但是这肯定不行，\
于是我们考虑得到一个S(v)表示所有长度为v的置换权乘不动点权的和，\
也就是h(i,j,1...n)需要的值乘|G|=v!。\
诶我们看看这个东西怎么搞，令q(i)=W(i)f(I,ji)，枚举长度为i的轮换个数a_i,我们得到\
S(n)=n!sumlimits_{sumlimits_{i=1}^mia_i=n}prodlimits_{i=1}^mfrac{q(i)^{a_i}}{i^{a_i}a_i!}\
为什么？可分解为轮换{a_1,a_2,ldots,a_m}的置换个数是frac{n!}{prodlimits_{i=1}^mi^{a_i}a_i!}\
]
[现在考虑构造置换环系数
当置换环长度为1时，可以直接构造系数。\
带入|G_x|=|G|的一个向量x，换言之，x内的所有颜色相同。\
根据frac{W(G_x)}{|G_x|}=A=prodlimits_{i=1}^mfrac 1{(a_i!)^{jk}}\
那么frac {W(G)}{|G|}=frac 1{(m!)^{jk}}\
同时长度为n的置换的和也是置换环做背包的结果,即\
sumlimits_{sumlimits_{i=1}^mia_i=n}prodlimits_{i=1}^mfrac{W(i)^{a_i}}{i^{a_i}a_i!}=frac{W(G)}{|G|}=frac 1{(m!)^{jk}}
]
update:注意上面h没有重分配标号，做完背包之后还要乘一个(frac {iv!}{(i!)^v}^{jk})来考虑重分配标号的贡献，背包可以用exp,ln来实现